Ответ: можно. Предположим, что задача уже решена. Пусть $A$ — то из множеств разбиения, которое содержит единицу. Остальные множества разбиения получаются из $A$ сдвигами на некоторые натуральные числа, множество которых, дополненное нулём, мы обозначим через $B$. Пусть для каждого $b\in B$ множество $A_b$ — результат сдвига множества $A$ на $b$, т. е. множество всех чисел вида $a+b$, где $a\in A$ (в частности, $A_0=A$). По условию, если $b_1\ne b_2$, то $A_{b_1}\cap A_{b_2}=\varnothing$, и всякое натуральное число $n$ принадлежит одному из множеств $A_b$, т. е.
$$
\begin{aligned}
&\textit{каждое натуральное число единственным образом}\\
&\textit{представляется в виде суммы}~n=a+b,~\textit{где}~a\in A{,}~b\in B.
\end{aligned}\tag{*}
$$
Если, наоборот, даны два множества $A$ и $B$, обладающие свойством (*) и такие, что $0\in B$, $1\in A$, то множества $A_b$, где $b\in B$, образуют требуемое разбиение.
Построение множеств $A$ и $B$ мы осуществим двумя способами.
Первый способ. Пусть множества $A$ и $B$, обладающие свойством (*), построены. Поставим в соответствие каждому натуральному числу $n=a+b$ ($a\in A$, $b\in B$) точку плоскости $Oxy$ с координатами $(a;b)$.
Пусть $M$ — множество всех полученных точек плоскости.
Множество $M$, очевидно, обладает следующими свойствами:
- если $A$ — проекция множества $M$ на ось $Ox$, а $B$ — проекция $M$ на ось $Oy$, то множество $M$ совпадает со всем множеством пар $(a;b)$, где $a\in A$, $b\in B$;
- пересечение множества $M$ с каждой прямой $x+y=n$ ($n$ — натуральное) состоит из единственной точки; в частности, при $n=1$ — это точка $(1;0)$.
Ясно, что, построив хотя бы одно множество $M$, обладающее свойствами а) и б), мы получим нужное разбиение множества натуральных чисел (состоящее из множеств $A_b$).
Множество $M$ построим как объединение множеств $M_0\subset M_1\subset M_2\subset\ldots\subset M_n\subset\ldots$, которые, в свою очередь, будем строить так:
Пусть $M_0=\{(1;0)\}$. Назовём $n$-й диагональю прямую $x+y=n$. Точка $(1;0)$ попадает на первую диагональ; вычеркнем её и в дальнейшем, строя множества $M_i$, будем последовательно вычеркивать диагонали, на которые попадают построенные точки.
Сдвинем множество $M_0$ на единицу вправо и положим $M_1=\{(1;0),(2;0)\}$; при этом вычеркнем вторую диагональ (см. рисунок). Затем сдвинем множество $M_1$ на две единицы вверх и присоединим полученные точки к $M_1$; это будет множество $M_2$; при этом вычеркнем третью и четвёртую диагонали (см. рисунок).
Множество $M_2$ сдвинем на четыре единицы вправо — так, чтобы вычеркнуть следующие четыре диагонали; получим множество $M_3$ (см. рисунок).
Вообще, множество $M_{k+1}$ строим так: сдвигаем множество $M_k$ (его точки принадлежат первой, второй, $\ldots$, $2^k$-й диагонали) на $2^k$ единиц вправо или вверх (в зависимости от чётности $k$) — так, чтобы вычеркнуть диагонали с номерами $2^k+1$, $2^k+2$, $\ldots$, $2^{k+1}$.
Легко видеть, что объединение множеств $M_0$, $M_1$, $\ldots$, $M_n$, $\ldots$ (по всем натуральным $n$) обладает свойствами а) и б).
Второй способ. Как известно, всякое натуральное число $n$ представляется в виде
$$
n=a_0\cdot2^k+a_1\cdot2^{k-1}+\ldots+a_{k-1}\cdot2+a_k,
$$
где $a_i$ равно 0 или 1, причём такое представление единственно. На этом основана двоичная запись числа $n$:
$n_2=\overline{a_0a_1\ldots a_{k-1}a_k}$.
Например, $2_2=10$, $7_2=111$, $17_2=10001$ и т. д.
Рассмотрим теперь два множества натуральных чисел: множество $A$, состоящее из чисел, в двоичной записи которых единица находится в нечётных (считая справа) разрядах: $A=\{1,100,101,\ldots\}$, и множество $B$, состоящее из 0 и чисел, в двоичной записи которых единица находится в чётных разрядах:
$B=\{0,10,1000,1010,\ldots\}$.
Очевидно, любое натуральное $n$ единственным образом представляется в виде суммы $n=a+b$, где $a\in A$, $b\in B$.
Множества $A$ и $B$ обладают свойством (*), и поэтому множества $A_b$ ($b\in B$) дают нужное разбиение.
