Задача М681‍‍

Приведём сразу решение задачи б), следуя В. Серпинскому (большое количество задач такого типа содержится в его книге «Элементарная теория чисел»): построим бесконечную последовательность $(a_n)$‍‍ натуральных чисел такую, что для любого $n$‍‍ сумма квадратов первых $n$‍‍ её членов есть квадрат нечётного числа. Возьмём $a_1=3$‍,‍ $a_2=4$‍;‍ если первые $n$‍‍ членов уже выбраны и $$ a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2=(2k+1)^2, $$ положим $a_{n+1}=2k^2+2k$‍.‍ Из тождества $$ (2k+1)^2+(2k^2+2k)^2=(2k^2+2k+1)^2 $$ получим, что $$ a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2+a_{n+1}^2=(2k^2+2k+1)^2 $$ — снова квадрат нечётного числа.

Первые пять членов этой последовательности 3, 4, 12, 84, 3612: $$ \begin{align*} 3^2&+4^2=5^2,\\ 3^2&+4^2+12^2=13^2,\\ 3^2&+4^2+12^2+84^2=85^2,\\ 3^2&+4^2+12^2+84^2+3612^2=3613^2. \end{align*} $$

Из решения задачи вытекает также факт, указанный в письме Ю. Макарова из Ленинграда: для любого $n$‍‍ существует $\dfrac{n(n+1)}2$‍‍ натуральных чисел $a_1$‍,‍ $a_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $a_{\frac{\scriptstyle n(n+1)}{\scriptstyle2}}$‍‍ таких, что $$ a_1^2=a_2^2+a_3^2=a_4^2+a_5^2+a_6^2=\ldots=a_{\frac{\scriptstyle n(n-1)}{\scriptstyle2}+1}^2+\ldots+a_{\frac{\scriptstyle n(n+1)}{\scriptstyle2}}^2. $$ Нам, как и автору письма, неизвестно, могут ли при этом все числа $a_1$‍,‍ $a_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $a_{\frac{\scriptstyle n(n+1)}{\scriptstyle2}}$‍‍ быть различными.