Задача М679‍‍‍

а) Прежде всего ясно, что если какие-то три из точек $A$‍,‍ $B$‍,‍ $C$‍,‍ $D$‍‍ лежат на одной прямой, то и четвёртая точка лежит на той же. прямой (рис. 1).

Пусть все четыре круга касаются внешним образом (рис. 2) и пусть $AA_1$‍,‍ $BB_1$‍,‍ $CC_1$‍,‍ $DD_1$‍‍ — отрезки общих касательных.

Из $\widehat{A_1AD}=\widehat{D_1DA}$‍,‍ $\widehat{D_1DC}=\widehat{C_1CD}$‍,‍ $\widehat{B_1BC}=\widehat{C_1CB}$‍‍ и $\widehat{A_1AB}=\widehat{B_1BA}$‍‍ следует $\widehat{A}+\widehat{B}=\widehat{C}+\widehat{D}$‍;‍ значит, около четырёхугольника $ABCD$‍‍ можно описать окружность.

В случае, когда не все четыре круга касаются внешним образом (рис. 3), рассуждения аналогичны.

б) Если центры шаров лежат в одной плоскости, то и все точки касания лежат в этой плоскости, так что в этом случае задача б) сводится к задаче а).

Если же центры $O_1$‍,‍ $O_2$‍,‍ $O_3$‍,‍ $O_4$‍‍ — не в одной плоскости, проведём плоскость через три точки касания, например, $A$‍,‍ $B$‍,‍ $C$‍‍ (рис. 4), и докажем, что четвёртая точка $D$‍‍ принадлежит этой плоскости.

Пусть $h_1$‍,‍ $h_2$‍,‍ $h_3$‍,‍ $h_4$‍‍ — расстояния от точек $O_1$‍,‍ $O_2$‍,‍ $O_3$‍,‍ $O_4$‍‍ до плоскости $(ABC)$‍,‍ а $R_1$‍,‍ $R_2$‍,‍ $R_3$‍,‍ $R_4$‍‍ — радиусы шаров. Ясно, что $\dfrac{h_1}{h_2}=\dfrac{R_1}{R_2}$‍,‍ $\dfrac{h_2}{h_3}=\dfrac{R_2}{R_3}$‍,‍ $\dfrac{h_3}{h_4}=\dfrac{R_3}{R_4}$‍‍ (см. рис. 4). Перемножая эти отношения, получаем $\dfrac{h_1}{h_4}=\dfrac{R_1}{R_4}=\dfrac{|O_1D|}{|O_4D|}$‍‍‚ что и означает принадлежность точки $O$‍‍ плоскости $(ABC)$‍.‍

Таким образом, плоскость $ABC$‍‍ пересекает шары по четырём кругам, касающимся, соответственно, друг друга в точках $A$‍,‍ $B$‍,‍ $C$‍,‍ $D$‍‍ так, как сказано в пункте а). Из этого следует утверждение задачи б).

в) Пусть $A$‍‍ — точка касания первого и второго, $B$‍‍ — первого и третьего, $C$‍‍ — первого и четвёртого, $D$‍‍ — второго и третьего, $E$‍‍ — второго и четвёртого, $F$‍‍ — третьего и четвёртого шаров.

По доказанному в пункте б) точки $A$‍,‍ $C$‍,‍ $F$‍,‍ $D$‍‍ лежат на одной окружности или прямой. Точки $A$‍,‍ $E$‍,‍ $F$‍‍ и $B$‍‍ обладают тем же свойством.

У этих двух четвёрок точек есть две общие точки: $A$‍‍ и $F$‍.‍ Поэтому если одна из четвёрок лежит на прямой, все шесть точек лежат в одной плоскости.

Если же эти четвёрки лежат на двух окружностях, находящихся.· в разных плоскостях и имеющих общую хорду $AF$‍,‍ то через эти окружности можно провести сферу: центром этой сферы является точка пересечения перпендикуляров к плоскостям этих окружностей, проведённых через центры окружностей (эти перпендикуляры лежат в плоскости, проходящей через центры окружностей и середину их общей хорды $AF$‍).‍