Заметим вначале, что если мы в любое место $(2m-2)$-значного справедливого числа добавим две идущие подряд цифры одинаковой чётности или добавим по цифре одинаковой чётности в его начало и в конец, то получающееся при этом $2m$-значное число останется справедливым.
Теперь докажем требуемое утверждение индукцией по $m$. При $m=1$ оно верно, поскольку в трёхзначном числе всегда можно вычеркнуть цифру так, чтобы две оставшиеся были одинаковой чётности. Предположим, что утверждение задачи верно для некоторого $m$, и докажем, что оно верно для $m+1$.
В любом $(2m+3)$-значном числе всегда найдутся две цифры одинаковой чётности, стоящие либо рядом, либо одна — в начале, а другая — в конце числа. Вычеркнув на время две эти цифры, получим $(2m+1)$-значное число, в котором, по предположению индукции, можно вычеркнуть одну цифру так, что получившееся $2m$-значное число будет справедливым. Восстановив в нём две вычеркнутые ранее цифры одинаковой чётности, получим согласно сделанному замечанию справедливoe $(2m+2)$-значное число.
