а) Площади треугольников $AMB$, $BMC$ и $AMC$ (рис. 1) одинаковы — они равны $\dfrac13S_{ABC}$ (докажите это).
Поскольку площадь $S$ треугольника, eгo полупериметр $p$ и радиус $r$ вписанной в него окружности связаны соотношением $S=pr$, периметры треугольников $AMB$, $BMC$ и $AMC$ также одинаковы.
Предложим теперь, что треугольник $ABC$ — неправильный; пусть, например, $|AB|\gt|BC|$. Тогда угол $BDA$ — тупой; поэтому $|AM|\gt|MC|$, так что периметр треугольника $AMB$ больше периметра треугольника $BMC$ — противоречие.
б) Поскольку $\widehat{CBM}=\widehat{ABM}$ и радиусы окружностей, вписанных в треугольники $AMB$ и $BMC$, равны, эти окружности касаются биссектрисы $BM$ в одной и той же точке (рис. 2).
Из этого следует, что все три окружности попарно касаются, a их центры $O_1$, $O_2$ и $O_3$ образуют правильный треугольник, стороны которого перпендикулярны биссектрисам данного треугольника $ABC$. Поэтому, например, $\widehat{BMC}=\dfrac{\pi+A}2=\dfrac{2\pi}3$, т. е. $\widehat A=\dfrac\pi3$. Аналогично доказывается, что $\widehat B=\widehat C=\dfrac\pi3$.
в) Как и в задаче a), предположим, что треугольник $ABC$ — неправильный; пусть, например, $|BC|\gt|AC|$. Обозначим через $D$ и $E$ точки касания окружностей, вписанных в треугольники $AMC$ и $BMC$ соответственно, со сторонами $AC$ и $BC$ (рис. 3). Поскольку радиусы этих окружностей равны и $\widehat{CAM}=\widehat{CBM}$, $|AD|=|BE|$. Значит, $|CD|\lt|CE|$.
С другой стороны, при нашем предположении $\widehat B\lt\widehat A$, так что $\widehat{MCA}=\dfrac\pi2-\widehat A\lt\dfrac\pi2-\widehat B=\widehat{BCM}$. Поэтому $|CD|\gt|CE|$ — противоречие.
