Задача М672‍‍‍

Докажем это утверждение методом математической индукции.

При $k=1$‍‍ оно справедливо по условию. Предположим, что $2^{x_k}-2$‍‍ делится на $x_k$‍,‍ и докажем, что $2^{x_{k+1}}-2$‍‍ делится $x_{k+1}$‍.‍

Пусть $x_{k+1}-1=2^{x_k}-2=mx_k$‍,‍ где $m\gt1$‍‍ — натуральное число. Тогда $$ \begin{gather*} 2^{x_{k+1}}-2=2(2^{x_{k+1}-1}-1)=2(2^{mx_k-1})=\\ =2(2^{x_k}-1)(2^{(m-1)x_k}+2^{(m-2)x_k}+\ldots+1)=M_{x_{k+1}}, \end{gather*} $$ где $M$‍‍ — натуральное число, что и требовалось доказать.

От редакции. Задача М672 по существу совпадает с леммой 2 из статьи И. Яглома «Почти простые числа»‍ («Квант», 1981, № 9).