Задача М672‍‍‍

Пусть $a$‍‍ — натуральное число такое, что $2^a-2$‍‍ делится на $a$‍‍ (например, $a=3$‍).‍ Определим последовательность $(x_n)$‍‍ условиями $$ x_1=a,\quad x_{k+1}=2^{x_k}-1 $$ Докажите, что $2^{x_k}-2$‍‍ делится на $x_k$‍‍ при любом $k$‍.‍