Задача М671‍‍

Пусть $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍,‍ $d$‍‍ — длины сторон четырёхугольника $ABCD$‍,‍ $|BO|=|OD|$‍,‍ $|AC|=l$‍‍ (см. рисунок). По теореме косинусов $$\begin{align*} l^2&=a^2+b^2-2ab\cos\widehat B,\tag1\\ l^2&=c^2+d^2+2cd\cos\widehat B\tag2 \end{align*}$$ ($\widehat D=180^\circ-\widehat B$‍,‍ поскольку четырёхугольник $ABCD$‍‍ вписан в окружность).

Легко заметить, что треугольники $ABC$‍‍ и $ADC$‍‍ равновелики: $S_{ABC}=S_{ADC}$‍‍ — они имеют общее основание $AC$‍‍ и равные по длине высоты, опущенные на это основание. Поэтому $\dfrac12ab\sin\widehat B=\dfrac12cd\sin(180^\circ-\widehat B)$‍,‍ т. е. $ab=cd$‍.‍ Складывая (1) и (2) получаем требуемое.