Задача М649‍‍

Докажем, что $$ c_n^2+2(c_n-c_1)^2+2(c_n-c_2)^2+\ldots+2(c_n-c_{n-1})^2=n. $$ Для этого подставим в левую часть значения $c_i$‍‍ ($i=1$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $n$‍):‍ $$ \begin{gather*} \left(1+\dfrac13+\dfrac15+\ldots+\dfrac1{2n-1}\right)^2+2\cdot\left(\dfrac13+\dfrac15+\ldots+\dfrac1{2n-1}\right)^2+{}\\ {}+2\cdot\left(\dfrac15+\dfrac17+\ldots+\dfrac1{2n-1}\right)^2+\ldots+2\cdot\left(\dfrac1{2n-1}\right)^2=\\\\[-6pt] =1\cdot\left(\left(1+\dfrac13+\ldots+\dfrac1{2n-1}\right)^2-\left(\dfrac13+\dfrac15+\ldots+\dfrac1{2n-1}\right)^2\right)+{}\\ {}+3\cdot\left(\left(\dfrac13+\dfrac15+\ldots+\dfrac1{2n-1}\right)^2-\left(\dfrac15+\dfrac17+\ldots+\dfrac1{2n-1}\right)^2\right)+{}\\ {}+5\cdot\left(\left(\dfrac15+\dfrac17+\ldots+\dfrac1{2n-1}\right)^2-\left(\dfrac17+\dfrac19+\ldots+\dfrac1{2n-1}\right)^2\right)+\ldots\\ \ldots+(2n-1)\cdot\left(\dfrac1{2n-1}\right)^2=\\\\[-6pt] =1\cdot\left(1+\dfrac23+\dfrac25+\ldots+\dfrac2{2n-1}\right)+{}\\ {}+3\cdot\dfrac13\cdot\left(\dfrac13+\dfrac25+\dfrac27+\ldots+\dfrac2{2n-1}\right)+{}\\ {}+5\cdot\dfrac15\cdot\left(\dfrac15+\dfrac27+\dfrac29+\ldots+\dfrac2{2n-1}\right)+\ldots+\dfrac1{2n-1}=\\\\[-6pt] =1+\dfrac33+\dfrac55+\dfrac77+\ldots+\dfrac{2n-1}{2n-1}=1+1+1+\ldots+1=n. \end{gather*} $$