От точки $O$ на плоскости отложены $2n$ векторов длины 1. Они раскрашены попеременно в красный и синий цвета. Пусть $\overrightarrow{s}$ — сумма $n$ красных векторов, $\overrightarrow{r}$ — сумма $n$ синих векторов. Докажите, что $$
|\overrightarrow{s}—\overrightarrow{r}|\le 2.
$$
Представим вектор $\overrightarrow s-\overrightarrow r$ в виде суммы $n$ чёрных векторов (см. рисунок), каждый из которых является разностью красного вектора и ближайшего к нему (по часовой стрелке) синего вектора. Чёрные векторы опираются на попарно непересекающиеся дуги окружности радиуса 1 с центром в точке $O$.
Предположим теперь, что вектор $\overrightarrow s-\overrightarrow r$ — ненулевой (иначе всё доказано). Спроектируем полученные чёрные векторы на направление вектора $\overrightarrow s-\overrightarrow r$. Легко заметить, что проекции, направление которых совпадает с направлением вектора $\overrightarrow s-\overrightarrow r$, не пересекаются и умещаются на диаметре окружности. Следовательно, сумма их длин не превосходит 2. С другой стороны, длина вектора $\overrightarrow s-\overrightarrow r$ не превосходит этой суммы. Поэтому $|\overrightarrow s-\overrightarrow r|\le2$.
