Докажем, что если $n$ не есть степень простого числа, то есть $n=p\cdot q$, $n\gt3$ и $p$ и $q$ — взаимно простые числа, отличные от единицы, то всегда можно составить $n$-угольник со сторонами длины $1$, $2$, $\ldots$, $n$, параллельными сторонам правильного $n$-угольника. Так как $1980=4\cdot495$, а $1981=7\cdot283$, этим мы решим задачу.
Рассмотрим правильный $n$-угольник ($n=p\cdot q$). Выделим среди его вершин $p$ штук, образующих правильный $p$-угольник (на рисунке $n=15$, $p=3$, $q=5$). Теперь рассмотрим $p$ наборов по $q$ вершин нашего (правильного) $n$-угольника таких, что в каждом наборе эти вершины образуют правильный $q$-угольник, а первая вершина $i$-го набора совпадает с $i$-й вершиной выделенного $p$-угольника (см. рисунок). В силу взаимной простоты чисел $p$ и $q$ эти наборы не пересекаются. Поэтому ими исчерпываются все вершины $n$-угольника.
Теперь «устроим» $p$ наборов по $q$ векторов. Первые $q$ векторов с длинами 1, 2, $\ldots$, $q$ расположены следующим образом: начала векторов поместим в последовательные вершины первого $q$-угольника, а направление каждого вектора возьмём совпадающим с направлением стороны $n$-угольника, прилегающей к соответствующей вершине $q$-угольника (направление обхода фиксировано). Обозначим сумму векторов первого набора через $\overrightarrow{b_1}$.
Второй набор $q$ векторов получается так же, как и первый, только его «порождают» вершины второго $q$-угольника. Сумма $\overrightarrow{b_2}$ векторов второго набора при этом, очевидно, получается из вектора $\overrightarrow{b_1}$ поворотом на угол $\dfrac{360^\circ}p$ вокруг центра $n$-угольника. Увеличив длину каждого вектора второго набора на $q$ единиц, мы не изменим суммы $\overrightarrow{b_2}$, поскольку такое увеличение является добавлением $q$ векторов, образующих правильный $q$-угольник (их сумма равна $\overrightarrow0$).
Так мы можем получить $p$ наборов по $q$ векторов: направления векторов $i$-го набора определяются вершинами $i$-го $q$-угольника, а длины их равны
$1+q(i-1)$, $2+q(i-1)$, $\ldots$, $qi$.
Сумма $\overrightarrow{b_i}$ этих векторов получается из $\overrightarrow{b_1}$ поворотом на угол $\dfrac{360^\circ\cdot(i-1)}p$ вокруг центра нашего $n$-угольника.
Из сказанного следует, что векторы $\overrightarrow{b_i}$ образуют правильный $p$-угольник. Следовательно, их сумма равна нулю, а значит, равна нулю и сумма всех $pq=n$ построенных векторов, направления которых соответствуют направлениям сторон нашего правильного $n$-угольника, а длины охватывают все натуральные числа от 1 до $n$. Остаётся последовательно расположить эти $n$ векторов так, чтобы их направления соответствовали направлениям последовательных сторон правильного $n$-угольника.
При $n=p^k$, где $p$ — простое, построить такой $n$-угольник нельзя, но элементарное доказательство этого факта нам неизвестно.
