Множество $\{1,\;2,\;3,\;5,\;10,\;20,\;25,\;50,\;100\}$ удовлетворяет условиям задачи. Значит, искомое множество содержит не более девяти элементов. Упорядочим его элементы по возрастанию:
$$
1=k_1 \lt k_2 \lt \ldots \lt k_n=100,\;n \le 9.
$$
Так как $k_j \le 2 \cdot k_{j-1}$ ($j=2,\;3,\;\ldots,\;n$), для любого $j$ имеем $k_j \le 2^{j-1}$. Пусть $r$ — наибольший индекс такой, что $k_r \ne 2k_{r-1}$. Тогда
$$100=k_n=2^{n-r} \cdot k_r \le 2^{n-r}(k_{r-1}+k_{r-2}) \le 2^{n-r} \cdot 2(2^{r-2}+2^{r-3}) = 3 \cdot 2^{n-3}.
$$
Из неравенства $100 \le 3 \cdot 2^{n-3}$ следует, что $n \ge 9$. Итак, $n=9$ и множество $\{1,\;2,\;3,\;5,\;10,\;20,\;25,\;50,\;100\}$ является искомым.
Отметим, что существуют и другие множества из девяти элементов, удовлетворяющие условию задачи. Например, годится и множество $\{1,\;2,\;4,\;6,\;10,\;20,\;30,\;50,\;100\}$.
