Задача М631‍‍

Так как $1980=99\cdot20$‍,‍ причём 99 и 20 не имеют общих делителей, достаточно выяснить, делится ли число $A=192021\ldots7980$‍‍ на 20 и 99. Делимость $A$‍‍ на 20 очевидна. Далее заметим, что 100 в любой степени при делении на 99 даёт остаток 1, поэтому число $$ A=19\cdot100^{61}+20\cdot100^{60}+\ldots+79\cdot100+80 $$ при делении на 99 даёт такой же остаток, как и число $$ B=19+20+\ldots+79+80=\dfrac{19+80}{2}\cdot62=99\cdot31. $$ Итак, получилось, что число $B$‍‍ делится на 99; следовательно, и число $A$‍‍ делится на 99, а вместе с тем и на 1980.