Задача М630‍‍

Обозначим центр окружности $\gamma$‍‍ через $O$‍;‍ пусть $R$‍‍ — радиус этой окружности (см. рисунок). Проведём из точки $M$‍‍ касательную к окружности $\gamma$‍.‍ Поскольку квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на длину её внешней части (докажите!), $$ |MK|^2=|MQ|\cdot|MP|=|MN|^2, $$ так что $$ |OM|^2-|MK|^2=|OM|^2-|MN|^2=R^2. $$

Легко доказать (например, с помощью теоремы Пифагора), что точка $М$‍‍ лежит на некоторой прямой $l$‍,‍ перпендикулярной $OK$‍,‍ для всех точек которой разность квадратов расстояний до точек $O$‍‍ и $K$‍‍ равна $R^2$‍‍‍. Можно показать также, что и наоборот — все точки этого перпендикуляра $l$‍‍ принадлежат нашему множеству: если для точки $M \in l$‍‍ построить произвольную окружность, касающуюся $MK$‍‍ в точке $K$‍‍ и пересекающую $\gamma$‍‍ в некоторых точках $P$‍,‍ $Q$‍,‍ то прямая $PQ$‍‍ пересечёт $l$‍‍ в точке $M$‍.‍