Нетрудно указать девять осей симметрии куба. Это — прямые, соединяющие центр куба $O$ с центрами граней (их три: $Ox$, $Oy$, $Oz$ на рисунке 1) и с серединами рёбер (их шесть).
Других осей симметрии у куба нет; это можно доказать, опираясь на такое наблюдение: при любом самосовмещении куба каждая из трёх осей $Ox$, $Oy$ и $Oz$ должна отображаться на одну из этих же осей, причём если это самосовмещение — симметрия (поворот на $180^\circ$) $S_l$ относительно некоторой прямой $l$, отличной от $Ox$, $Oy$ и $Oz$, то одна из этих трёх осей должна переходить в себя, а две остальные — друг в друга.
У правильного тетраэдра три оси симметрии — прямые, соединяющие середины его рёбер. Чтобы убедиться в этом, удобно достроить тетраэдр до куба, проведя через каждое ребро тетраэдра плоскость, параллельную противоположному ребру (рис. 2). Ясно, что любое самосовмещение тетраэдра будет также самосовмещением этого описанного куба. Из девяти осевых симметрий, отображающих куб на себя, лишь три будут переводить в себя тетраэдр.
Рис. 2
б) Пусть дан многогранник $M$, у которого более одной оси симметрии.
Лемма 1.Если $l$ и $m$ — оси симметрии многогранника $M$, то $S_l(m)=m'$ — также ось симметрии $M$.
В самом деле, если точки $P$ и $P'$ многогранника $M$ симметричны относительно $m$, то $S_l(P)$ и $S_l(P')$ будут симметричны относительно $m'$. Короче: $S_{m'}=S_l\circ S_m\circ S_l$.
Лемма 2.Если $l$ и $m$ — оси симметрии многогранника $M$, пересекающиеся в точке $O$, и перпендикулярные друг к другу, то прямая $n$, перпендикулярная им обоим и проходящая через точку $O$, также служит осью симметрии $M$.
Действительно, $S_n=S_m\circ S_l$. Это легко проверить, приняв данные прямые за оси координат, или построив прямоугольный параллелепипед с центром в точке $O$ и осями симметрии $l$, $m$, $n$ с произвольной вершиной $P$ (рис. 3).
Рис. 3
Леммы 1 и 2 позволяют, фиксировав какую-то одну ось симметрии $l$, разбить все остальные на пары: если $m$ удовлетворяет условиям леммы 2, то пару с ней образует $n$, а если нет, то $m'=S_l(m)\ne m$. Отсюда сразу следует утверждение задачи б).
Возникает естественный вопрос: какое вообще (конечное) множество прямых может быть множеством всех осей симметрии некоторого многогранника?
Различные примеры даются множеством осей симметрии $n$-угольной правильной призмы (здесь количество осей $p=n$ при $n$ нечётном и $p=n+1$ при $n$ чётном), тетраэдра (или прямоугольного параллелепипеда с разными рёбрами, $p=3$), куба (или октаэдра, $p=9$) и додекаэдра (или икосаэдра, $p=15$). Попробуйте доказать, что других множеств осей симметрии (состоящих более чем из одной прямой) не бывает. Конечно, тут не обойтись без такой очень полезной леммы, которую многие читатели применяли и в решении задачи б).
Лемма 3.Оси симметрии любого многогранника пересекаются в одной точке.
Предположим, что $l$, $m$ — непересекающиеся оси симметрии многогранника $M$. Пусть $n$ — общий перпендикуляр $l$, $m$; рассмотрим прямоугольную систему координат с началом в точке $O=l\cap n$, с осью $Oz$, направленной по лучу $OA$, где $A=n\cap m$; пусть $|OA|=a$. Тогда при симметрии относительно оси $l$ координата $z$ любой точки переходит в ($-z$), а при симметрии относительно $m$ — в $2a-z$. Поэтому при композиции этих двух симметрий $z$ изменяется на $2a$. Повторяя эту композицию достаточное число раз, мы «выгоним» любую точку за пределы многогранника $M$. Противоречие!
Вот ещё более короткое доказательство леммы 3 (правда, использующее понятие, заимствованное из механики): пусть $O$ — центр масс одинаковых грузиков, помещённых в вершинах многогранника $M$; ясно, что при любом самосовмещении многогранника $M$ грузики лишь меняются местами, поэтому точка $O$ переходит в себя; в частности, все оси симметрии многогранника $M$ проходят через точку $O$.
