Вокруг окружности описан $n$—угольник. Произвольная точка $P$ внутри окружности соединена со всеми его вершинами и точками касания. Образовавшиеся $2n$ треугольников окрашены попеременно в красный и синий цвет. Докажите, что произведение площадей красных треугольников равно произведению площадей синих треугольников.
Пусть $A_1A_2\ldots A_n$ — описанный $n$-угольник, $t_1$, $t_2$, $\ldots$, $t_n$ — длины отрезков касательных, проведённых к окружности из точек $A_1$, $A_2$, $A_3$, $\ldots$, $A_n$ ($t_1=|A_1T_1|=|A_1T_n|$; $t_2=|A_2T_2|=|A_2T_1|$ и т. д.) и $h_1$, $h_2$, $\ldots$, $h_{n-1}$, $h_n$ — расстояния от точки $P$ до прямых $A_1A_2$, $A_2A_3$, $\ldots$, $A_{n-1}A_n$, $A_nA_1$ соответственно (см. рисунок). Тогда произведения площадей красных и синих треугольников
$$
\dfrac{t_1h_1}{2}\cdot\dfrac{t_2h_2}{2}\cdot\dfrac{t_3h_3}{2}\cdot\ldots\cdot\dfrac{t_nh_n}{2}
$$
и $$
\dfrac{t_1h_n}{2}\cdot\dfrac{t_2h_1}{2}\cdot\dfrac{t_3h_2}{2}\cdot\ldots\cdot\dfrac{t_nh_{n-1}}{2}
$$
оба равны $\dfrac{t_1t_2\ldots t_nh_1h_2\ldots h_n}{2^n}$.
Укажем более сложный вариант этой задачи, предложенный У. Аллой: если соединить последовательные точки касания отрезками, то произведение $n$ длин тех частей отрезков, которые попали в синие треугольники, равно произведению $n$ длин тех частей отрезков, которые попали в красные треугольники. Для доказательства достаточно заметить, что отношение, в котором отрезок $A_kP$ разбивает отрезок $T_{k-1}T_k$, равно отношению площадей треугольников $PT_{k-1}A_k$ и $PT_kA_k$.
