Нам понадобится следующая
Лемма. Пусть точки $A$ и $B$ не лежат на прямой $l$, $X$, $Y$ и $Z$ — точки на прямой $l$, причём точка $Y$ расположена между $X$ и $Z$. Тогда периметр хотя бы одного из двух треугольников $ABX$ и $ABZ$ больше, чем периметр треугольника $ABY$.
Указание. Если точки $A$, $B$ и прямая $l$ не лежат в одной плоскости, поворотом точки $B$ вокруг $l$ добейтесь этого. Если точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от $l$, рассмотрите точку, симметричную с $B$ относительно $l$.
Докажем теперь утверждение задачи.
Пусть вначале сечение — треугольное. Обозначим вершины тетраэдра через $C$, $D$, $E$, $F$. Без ограничения общности можно считать, что плоскость сечения проходит через некоторую вершину тетраэдра, например через вершину $C$. Могут представиться различные случаи расположения плоскости сечения относительно тетраэдра.
Рассмотрим, например, конфигурацию, изображённую на рисунке 1 (остальные случаи разберите самостоятельно).
По лемме справедливо хотя бы одно из неравенств $P_{CKL}\lt P_{CKF}$, $P_{CKL}\lt P_{CKD}$ ($P$ здесь и ниже — обозначение периметра).
В случае $P_{CKL}\lt P_{CKF}$, поскольку, очевидно, $P_{CKF}\lt P_{CEF}$, имеем $P_{CKL}\lt P_{CEF}$ — и утверждение задачи доказано.
Рассмотрим случай $P_{CKL}\lt P_{CKD}$. Снова воспользовавшись леммой, имеем хотя бы одно из неравенств $P_{CKD}\lt P_{CED}$, $P_{CKD}\lt P_{CFD}$. В любом из этих двух случаев периметр сечения меньше периметра хотя бы одной грани.
Пусть теперь $MNPR$ — произвольное четырёхугольное сечение (рис. 2). Рассмотрим параллельные сдвиги плоскости этого сечения вдоль $CE$. Обозначим $|CM|$ через $x$. Заметим, что
- $P_{MNPR}$ при изменении $x$ меняется линейно;
- при некотором значении $x$ четырёхугольник $MNPR$ превратится в треугольник (возможно, вырожденный: в отрезок или в точку).
Рассмотрим два таких значения $x$: $x_1$ и $x_2$. Линейная на отрезке $[x_1; x_2]$ функция $P_{MNPR}(x)$ достигает наибольшего значения на одном из концов этого отрезка.
Пусть, например, $\max\limits_{x \in [x_1; x_2]} P_{MNPR}(x) = P(x_1)$. Но $P(x_1)$ — периметр некоторого треугольного сечения, который, по доказанному выше, меньше периметра хотя бы одной грани тетраэдра.
Рисунок номер 1
Рисунок номер 2
