Возрастающая последовательность натуральных чисел $(a_n)$ такова, что $a_{n+1}\le 10a_n$. Докажите, что если все числа $a_n$ записать рядом (без пробелов и запятых), то полученная последовательность цифр не будет периодической.
Допустим, что у нас получилась периодическая последовательность цифр и что длина периода (количество цифр в нём) равна $T$. Легко видеть, что число $a_{n+1}$ может быть «длиннее» числа $a_n$ не более чем на один разряд (и, разумеется, не короче). Поскольку последовательность $(a_n)$ — возрастающая, в ней есть числа любой длины, большей, чем длина $a_1$. Поэтому в ней наверняка найдётся число $a_m$, длина которого $kT$ кратна периоду (см. рисунок). Первые $kT$ цифр числа $a_{m+1}$ должны совпадать с цифрами числа $a_m$, поэтому у $a_{m+1}$ есть ещё один разряд ($a_{m+1}\gt a_m$), и в нём обязательно стоит нуль ($10a_m\ge a_{m+1}$). Но тогда первая цифра в записи $a_m$ — нуль, что, конечно, невозможно.
Заметим, что если условие $a_{n+1}\le10a_n$ заменить чуть-чуть более слабым: $a_{n+1}\le 10a_n+1$ или $a_{n+1}\le(10+\eps)a_n$, где $\eps$ — произвольное положительное число, то полученная последовательность цифр может оказаться периодической.
