На хорде $AB$ окружности с центром $O$ берётся произвольная точка $M$.
Через точки $A$, $M$ и $O$ проводится окружность, пересекающая первую
окружность в точках $A$ и $C$. Докажите, что $|MB|=|MC|$.
Пусть $\widehat{ABC}=\beta$. Тогда $\widehat{AOC}=2\beta$, так как $\widehat{ABC}$ и $\widehat{AOC}$ — вписанный и соответственно центральный углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $AC$ данной (чёрной — см. рисунок) окружности.
С другой стороны, $\widehat{AMC}$ и $\widehat{AOC}$ — вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $AC$ построенной (голубой) окружности (расположенную вне чёрной окружности). Поэтому $\widehat{AMC}=2\beta$.
$\widehat{AMC}$ — внешний угол треугольника $MBC$. Значит, $\widehat{MCB}=\widehat{AMC}-\widehat{MBC}=\beta$. Из $\widehat{MCB}=\widehat{ABC}$ следует $|MB|=|MC|$.
Это решение годится (в отличие от некоторых решений, присланных читателями) для любого расположения точки $M$ на $[AB]$, кроме того случая, когда $M$ совпадает с серединой хорды $AB$. В этом последнем случае голубая окружность касается чёрной, точки $A$ и $C$ сливаются и равенство $|MB|=|MC|$ превращается в равенство $|MB|=|MA|$.
Подумайте, останется ли доказанное утверждение верным, если $M$ взять на продолжении отрезка $AB$.
