Задача М586‍‍

Наше доказательство будет опираться на следующие теоремы:

1. Если в окружности две дуги имеют одинаковую меру, то длины хорд, стягивающих эти дуги, равны.
2. Биссектриса вписанного в окружность угла делит дугу, стягивающую этот угол, пополам.
3. Три биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.
4. Если сумма величин двух противоположных углов четырёхугольника равна $180^\circ$‍,‍ то вокруг него можно описать окружность.
5. Если в треугольнике $ABC$‍‍ величина угла $B$‍‍ равна $\varphi$‍,‍ то величина угла $AOC$‍,‍ где $O$‍‍ — точка пересечения биссектрис, равна $90^\circ+\dfrac{\varphi}{2}$‍.‍

Приступим к доказательству утверждения, сформулированного в задаче М586.

По теореме 5 величина угла $EOD$‍‍ (см. рисунок) равна $120^\circ$‍.‍ Поскольку в четырёхугольнике $BEOD$‍‍ сумма величин двух противоположных углов равна $180^\circ$‍,‍ вокруг него по теореме 4 можно описать окружность.

Согласно теореме 3 отрезок $BO$‍‍ является биссектрисой угла $B$‍.‍ По теореме 2 точка $O$‍‍ делит дугу $ED$‍‍ пополам. Используя теорему 1, заключаем, что $|OD|=|OE|$‍.‍