Приведём пример разбиения пространства на попарно скрещивающиеся прямые.
Пусть прямая $l_0$ вертикальна (ось $Oz$ на рисунке 1). Через каждую точку $T$ горизонтальной плоскости $\alpha$ ($Oxy$), отличную от $O$, проведём прямую $TM$, которая перпендикулярна отрезку $OT$ и наклонена к плоскости $\alpha$ под углом $\arctg\dfrac1{|OT|}$.
Рис. 1
Таким образом, при возрастании $r=|OT|$ от 0 до $+\infty$ прямая $TM$ постепенно наклоняется от вертикального положения $l_0$ к горизонтальному. При фиксированном же $r$ прямые $TM$ вращаются вокруг оси $l_0$, образуя однополостный гиперболоид$\mathit\Gamma_r$ (рис. 2). Для каждого $r\gt0$ получается гиперболоид с «горловиной» радиуса $r$, всё более широкий.
Рис. 2
Прямые $TM$, построенные для всех точек $T\in\alpha$, отличных от $O$, и прямая $l_0$ образуют искомое разбиение. Докажем это.
Во-первых, докажем, что никакие две из проведённых прямых не параллельны. Действительно, если две прямые принадлежат разным семействам $\mathit\Gamma_{r_1}$ и $\mathit\Gamma_{r_2}$, $r_1\ne r_2$, то углы $\phi_1$ и $\phi_2$ их наклона к горизонтальной $\alpha$ плоскости различны. Если же прямые принадлежат одному семейству $\mathit\Gamma_r$, то их проекции либо на плоскость $\alpha$, либо на вертикальную плоскость будут, очевидно, не параллельны.
(Заметим, что на каждом гиперболоиде $\mathit\Gamma_r$ можно выбрать одно из двух семейств прямолинейных образующих: мы можем направить вектор $\overrightarrow{TM'}$ от точки $T$ (рис. 1) по или против часовой стрелки. Мы каждый раз направляем его одинаково.)
Во-вторых, нужно доказать, что через каждую точку пространства проходит ровно одна из прямых. Это почти очевидно «из соображений непрерывности», но для строгого доказательства лучше использовать метод координат.
Пусть $P(x;y;z)$ — точка прямой $TM$ на рисунке 1, $P'(x;y)$ — её проекция на плоскость $\alpha$. Тогда $|TP|=r|z|$, поэтому $|OP'|^2=r^2(1+z^2)$, т. е.
$$
x^2+y^2=r^2(1+z^2).
$$
(Это уравнение гиперболоида $\mathit\Gamma_r$!) Отсюда для любой точки $P(x;y;z)$, $x^2+y^2\ne0$ можно найти единственное $r\gt0$ и, проведя из точки $P'$ касательную $P'T$ к окружности радиуса $r$ с центром $O$ (именно ту касательную, которая соответствует выбранному нами направлению $\overrightarrow{TM'}$ — по или против часовой стрелки), получить точку $T$ и построить прямую $TM$, проходящую через нашу точку $P$.
Во всех присланных решениях по существу описывался (разными способами) один и тот же пример. Это не удивительно; можно доказать, что (при соблюдении некоторых естественных условий плавной алгебраической зависимости от параметров) существует, с точностью до линейного преобразования, единственное требуемое разбиение пространства.
