a) Чтобы число $n^3$ оканчивалось на 7, само число $n$ должно оканчиваться на 3,
так что если искомое трёхзначное число $n$ существует, то $$n=\overline{ab3}=100a+10b+3=10(10a+b)+3.$$
Тогда
$$n^3=10^3A+10^2(7a+2b+9b^2)+10(7b+2)+7.$$
Число $7b+2$ оканчивается на 7 в том и только в том случае, когда $7b$
оканчивается на 5, т. е. когда $b=5$. Тогда
$$
n^3=10^3A+10^2(7a+8)+77.
$$
Число $7a+8$ оканчивается на 7 в том и только в том случае, когда $a=7$.
Таким образом, $753^3$ оканчивается (по крайней мере) на три семёрки.
б) Нет, не для любого. Если число $n^3$ оканчивается на 5, то и само число $n$
оканчивается на 5. Но число $(10a+5)^3$ оканчивается на 25, если $a$ — чётное,
и на 75, если $a$ — нечётное. Поэтому ни для какого $n$ число $n^3$
не оканчивается на 05, 15, 35, 45, 55, 65, 85, 95.
Кроме того, если число $n^3$ оканчивается чётной цифрой, то $n^3$ делится на 2;
тогда $n$ делится на 2 и, следовательно, $n^3$ делится на 8. Но число $n$
делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8. Значит, ни для какого $n$ число $n^3$
не оканчивается на чётное трёхзначное число, не делящееся на 8.
А какой будет ответ в задаче б), если потребовать, чтобы последняя цифра была нечётной и отличной от 5?
