Выберем на каждой прямой $l_i$ по единичному вектору $e_i$. Тогда для точек $A_i\in l_i$ можно написать $\overrightarrow{OA_i}=a_i\overrightarrow{e_i}$. Условие перпендикулярности прямых $A_iA_{i+2}$ и $l_{i+1}$ можно записать в виде $\overrightarrow{A_iA_{i+2}}\cdot\overrightarrow{e_{i+1}}=0$, или, поскольку
$$\begin{gathered}
\overrightarrow{A_iA_{i+2}}=\overrightarrow{OA_{i+2}}-\overrightarrow{OA_i},\\
(a_{i+2}\overrightarrow{e_{i+2}}-a_i\overrightarrow{e_i})\cdot\overrightarrow{e_{i+1}}=0,
\end{gathered}$$
т. е.
$$
a_{i+2}\overrightarrow{e_{i+1}}\cdot\overrightarrow{e_{i+2}}=a_i\overrightarrow{e_i}\cdot\overrightarrow{e_{i+1}}.
$$
Положим $\overrightarrow{e_i}\cdot\overrightarrow{e_{i+1}}=c_i$ ($i=1$, 2, $\ldots$, 1979; $c_i$ — косинус угла между вектором $\overrightarrow{e_i}$ и следующим по номеру вектором $\overrightarrow{e_{i+1}}$; $c_i\ne0$). Мы получим формулу
$$
a_{i+2}=a_i\dfrac{c_i}{c_{i+1}},\tag{*}
$$
которая позволяет последовательно определить по точке $A_1$ точки $A_3$, $A_5$, $\ldots$, $A_{1977}$, $A_{1979}$, $A_2$, $A_4$, $\ldots$, $A_{1978}$, и, наконец, снова точку $A_1'$ на прямой $l_1$, которая будет совпадать с точкой $A_1$: в силу формулы (*)
$$
a_1'=a_1\dfrac{c_1}{c_2}\cdot\dfrac{c_3}{c_4}\cdot\ldots\cdot\dfrac{c_{1979}}{c_1}\cdot\dfrac{c_2}{c_3}\cdot\ldots\cdot\dfrac{c_{1978}}{c_{1979}}=a_1.
$$
(Формулу (*), конечно же, можно получить, рассматривая также проекции точек $A_i$, $A_{i+2}$ на прямую $l_{i+1}$, — эти проекции должны совпадать, так как $(A_iA_{i+2})\perp l_{i+1}$.)
