Обязательно ли конгруэнтны два остроугольных равнобедренных треугольника, имеющих равные по длине боковые стороны и равные радиусы вписанных окружностей?
Пусть в равнобедренном треугольнике $ABC$ (рис. 1) $|AB|=|AC|=1$, $\widehat{BAC}=2\alpha$, $O$ — центр вписанной окружности, $r$ — её радиус.
Для вычисления радиуса воспользуемся известной формулой $S=rp$, где $S$ — площадь треугольника, $p$ — его полупериметр. В нашем случае
$$\begin{align*}
S&=\dfrac{1}{2}|AB|\cdot|AC|\sin2\alpha=\dfrac12\sin2\alpha,\\
p&=\dfrac{|AB|+|BC|+|AC|}{2}=1+\sin\alpha.
\end{align*}$$
Таким образом,
$$
r(\alpha)=\dfrac{S}{p}=\dfrac12\cdot\dfrac{\sin2\alpha}{1+\sin\alpha}.
$$
Треугольник $ABC$, по условию, должен быть остроугольным, так что нас будут интересовать значения $\alpha$, принадлежащие промежутку $\left(0;\dfrac\pi4\right)$. Нам надо выяснить, будет ли функция $r=r(\alpha)$ на $\left(0;\dfrac\pi4\right)$ монотонна или она на этом промежутке принимает некоторые значения дважды.
Исследуем функцию $r$ с помощью производной. Вычислив производную, получим:
$$
r'(\alpha)=\dfrac{1-\sin\alpha-\sin^2\alpha}{1+\sin\alpha}
$$
(убедитесь в этом). Приравнивая $r'(\alpha)$ нулю, получаем
$$
\sin^2\alpha+\sin\alpha-1=0,
$$
и, поскольку $\alpha\in\left(0;\dfrac\pi4\right)$, $\sin\alpha=\dfrac{\sqrt5-1}2$ или $\arcsin\dfrac{\sqrt5-1}2=\alpha_0\approx38{,}2\degree$.
Рис. 2
Легко видеть, что $r'(\alpha)\gt0$ при $0\lt\alpha\lt\alpha_0$ и $r'(\alpha)\lt0$ при $\alpha_0\lt\alpha\lt\dfrac\pi4$. Таким образом, $r$ возрастает при $\alpha\in(0,\alpha_0)$ и убывает при $\alpha\in\left(\alpha_0,\dfrac\pi4\right)$, т. е. $\alpha_0$ — точка максимума функции $r$ (примерный её график изображён на рисунке 2).
Теперь ясно, что внутри промежутка $\left(0;\dfrac\pi4\right)$ существуют такие $\alpha_1$ и $\alpha_2$, для которых $r(\alpha_1)=r(\alpha_2)$ (см. рис. 2).
