цилиндров одинакового радиуса $r$, оси которых взаимно перпендикулярны и проходят через одну точку. Сколько плоскостей симметрии имеет это пересечение? Каков его объём?
а) Сечение нашего тела $\Phi$ плоскостью $\alpha_0$, проходящей через оси цилиндров (будем считать, что $\alpha_0$ горизонтальна, рис. 1), — квадрат со стороной $2r$. Тело $\Phi$ имеет, очевидно, те же пять плоскостей симметрии, что и квадрат $\Phi\cap\alpha_0$: это — сама плоскость $\alpha_0$ и ещё четыре перпендикулярные $\alpha_0$ плоскости, проходящие через оси симметрии квадрата. А сечение тела $\Phi$ горизонтальной плоскостью $\alpha_x$, отстоящей от $\alpha_0$ на расстояние $|x|\le r$, — квадрат со стороной длины $2\sqrt{r^2-x^2}$: каждый из цилиндров пересекается с этой плоскостью по полосе ширины $2\sqrt{r^2-x^2}$ (рис. 2, 3), а пересечение двух таких полос со взаимно перпендикулярными краями даёт квадрат (рис. 2). Поэтому объём нашего тела равен
$$
\int\limits_{-r}^r4(r^2-x^2)\,dx=8r^3-\dfrac{8r^3}3=\dfrac{16r^3}3.
$$
Рис. 1Рис. 2Рис. 3
Для нахождения объёма тела $\Phi$ считать интеграл вовсе не обязательно. Нужно только заметить, что сечение шара радиуса $r$ (который, разумеется, можно вписать в тело $\Phi$) плоскостью $\alpha_x$ — круг площади $\pi(r^2-x^2)$. Поэтому отношение искомого объёма к объёму шара радиуса $r$ равно $\dfrac4\pi$. Отсюда объём тела $\Phi$ равен $\dfrac{16r^3}3$ $\Big($объём шара — $\dfrac{4\pi r^3}3\Big)$.
б) Чтобы представить себе пересечение $\Psi$ трёх цилиндров, удобно поступить так: взять куб (с диагональю грани длины $2r$, т. е. с ребром $r\sqrt2$) и через каждую четвёрку параллельных ребёр провести цилиндрическую поверхность (рис. 4). $\Psi$ имеет тe же девять плоскостей симметрии, что и куб. В вершинах куба будут пересекаться по три цилиндрических поверхности, а «над» каждой гранью возникнет купол, имеющий такую же форму, как часть тела $\Phi$, расположенная над плоскостью $\alpha_{\frac{\scriptstyle r\sqrt2}{\scriptstyle2}}$. Объём одного купола равен
$$
\int\limits_{\frac{\scriptstyle r\sqrt2}{\scriptstyle2}}^r4(r^2-x^2)\,dx=
4r^3\left[\left(1-\dfrac{\sqrt2}2\right)-\left(\dfrac13-\dfrac{\sqrt2}{3\cdot4}\right)\right]=
\dfrac{r^3(8-5\sqrt2)}3,
$$
шести куполов — $r^3(16-10\sqrt2)$, куба — $2r^3\sqrt2$, поэтому объём нужного нам тела $(16-8\sqrt2)r^3\approx4{,}69r^3$ (объём шара радиуса $r$, который, разумеется, можно вписать в тело $\Psi$, равен $\dfrac{4\pi r^3}3\approx 4{,}18r^3\Big)$.
Рис. 4Рис. 5
Можно посчитать и площадь поверхности тел $\Phi$ и $\Psi$. Для этого нужно заметить, что если полосу бумаги шириной $2\pi$ свернуть цилиндрической трубкой (радиуса 1), разрезать этот цилиндр плоскостью под углом $\dfrac\pi4$ к оси и вновь развернуть бумагу на плоскость, то край её будет иметь форму синусоиды. Для изготовления бумажной модели тела $\Phi$ надо взять четыре «лепестка» площади $2r^2\int\limits_0^\pi\sin\phi\,d\phi=4r^2$ каждый (рис. 5, а), так что общая его поверхность $16r^2$, а бумажную модель тела $\Psi$ можно сделать из двенадцати «лепестков» площади $4r^2\int\limits_0^{\frac{\scriptstyle\pi}{\scriptstyle4}}\sin\phi\,d\phi=(4-2\sqrt2)r^2$ каждый (рис. 5, б), так что площадь поверхности тела $\Psi$ равна $(48-24\sqrt2)r^2$.
