Задача М551‍‍‍

Решим сразу задачу б). Ответ: $n-2$‍.‍

Ясно, что необходимо поставить по крайней мере $n-2$‍‍ точек, поскольку $n$‍‍-угольник можно разрезать на $n-2$‍‍ треугольников и в каждом должно быть по точке. Покажем, как в $n$‍‍-угольнике $A_0A_1\ldots A_{n-1}$‍,‍ расставить точки нужным образом. Поставим $k$‍‍-ю точку $B_k$‍,‍ ($k=1$‍,‍ $2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $n-2$‍)‍ вблизи вершины $A_k$‍‍ внутри угла $A_0A_kA_{n-1}$‍‍ (см. рис.), точнее, — в пересечении этого угла с полуплоскостью, ограниченной прямой $A_{k-1}A_{k+1}$‍‍ и содержащей точку $A_k$‍.‍ Ясно, что треугольник $A_iA_kA_j$‍,‍ где $0\le i\lt k\lt j\le n-1$‍,‍ содержит точку $B_k$‍:‍ угол $A_iA_kA_j$‍‍ содержит угол $A_0A_kA_{n-1}$‍,‍ а диагональ $A_{k-1}A_{k+1}$‍‍ пересекает отрезки $A_iA_k$‍‍ и $A_kA_j$‍.‍