Решим сразу пункт в) задачи. Для этого прежде всего надо его сформулировать:
На окружности расположено $n$ точек. Через центр тяжести $n-2$ из них проводится прямая, перпендикулярная хорде, соединяющей оставшиеся две точки. Докажите, что все такие прямые проходят через одну точку.
Но что такое центр тяжести $k$ точек? Дадим опрeделение: центром тяжести $k$ точек $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_k$, называется такая точка $G$, что $$
\overrightarrow{GA_1}+\overrightarrow{GA_2}+\ldots+\overrightarrow{GA_k}=\overrightarrow{0}.
$$
Легко убедиться, что если точка $G$ существует, то она определяется однозначно. В самом деле, для любой точки $M$, отличной от точки $G$,
$$
\overrightarrow{MA_1}+\overrightarrow{MA_2}+\ldots+\overrightarrow{MA_k}=(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA_1})+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA_2})+\ldots+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA_k})=kMG\not=0.
$$
Поэтому, если точка $G$ существует, то она единственная. С другой стороны, ясно, что найти её можно следующим образом: взять произвольную точку $M$ и построить точку $G$ так, чтобы
$$
\overrightarrow{MG}=\dfrac{1}{k}(\overrightarrow{MA_1}+\overrightarrow{MA_2}+\ldots+\overrightarrow{MA_k})
$$
— центр тяжести является, так сказать, «средним арифметическим», но не чисел, а точек.
Формулировка задачи полностью прояснена, остаётся её решить.
Для этого нам понадобится такое свойство центра тяжести:
Центр тяжести $G$ системы из $l+m$ точек $B_1$, $\ldots$, $B_l$, $C_1$, $\ldots$, $C_m$ делит отрезок $G_1G_2$, где $G_1$ — центр тяжести точек $B_1$, $\ldots$, $B_l$, а $G_2$ — центр тяжести точек $C_1$, $\ldots$, $C_m$, в отношении $m:l$(рис. 1). Докажите это свойство самостоятельно.
Рисунок номер 2
Теперь уже очень легко решить задачу.
Пусть $M$ — центр тяжести наших $n$ точек, $O$ — центр окружности, $M_1$ — центр тяжести некоторых $n-2$ точек, $K$ — середина «оставшейся» хорды, а $l$ — соответствующая перпендикулярная ей прямая (рис. 2). Точки $K$, $M$ и $M_1$ лежат на одной прямой, причём $\dfrac{|KM|}{|MM_1|}=\dfrac{n-2}{2}$ ($K$ — центр тяжести точек $A$ и $B$). Пусть $P$ — точка пересечения прямых $OM$ и $l$. Треугольники $KOM$ и $M_1PM$ подобны, поскольку $(KO)\Vert l$. Поэтому $\dfrac{|MP|}{|OM|}=\dfrac{n}{n-2}$ и точка $P$ однозначно определяется по точкам $O$ и $M$. Следовательно, эта точка является общей для всех прямых.
Рисунок номер 1
