Из произвольной точки $M$ окружности, описанной около прямоугольника, опустили перпендикуляры $MP$ и $MQ$ на две его противоположные стороны, и перпендикуляры $MR$ и $MT$ — на продолжения двух других сторон. Докажите, что прямые $PR$ и $QT$ перпендикулярны друг другу, а их точка пересечения принадлежит диагонали прямоугольника.
Обозначим через $M_1$ и $P_1$ точки пересечения отрезков $MT$ и $MP$ с данной окружностью (см. рис.). Поскольку углы $MMP_1$ и $ADC$ прямые, углы $M_1AP_1$ и $AM_1C$ также прямые и четырехугольник $AP_1CM_1$ — прямоугольник. С другой стороны, четырехугольники $AM_1TQ$ и $ARPP_1$ — параллелограммы (пары отрезков $M_1T$, $AQ$ и $AR$, $PP_1$ параллельны и равны по длине). Поэтому $(AM_1)\parallel(TE)$ и $(AP_1)\parallel(RP)$. Отсюда следует, что $(TE)\perp(RP)$.
Второе же утверждение задачи ($E\in(AC)$) эквивалентно подобию прямоугольников $AP_1CM_1$ и $AGEF$. Покажем, что они действительно подобны.
В самом деле, все отмеченные на рисунке углы контруэнтны; пусть они равны по величине $\alpha$. Тогда, если
$|AM_1|=a$ и $|CM_1|=b$, то $|AF|=|AR|\sin\alpha=|PP_1|\sin\alpha=|CP_1|\sin^2\alpha=a\sin^2\alpha$ и аналогично $|AG|=b\sin^2\alpha,$ т. e. $\dfrac{|AM_1|}{|CM_1|}=\dfrac{|AF|}{|FE|}$
