Задача М545‍‍

На плоскости задано $n$‍‍ точек. Нужно разместить в этих точках $n$‍‍ прожекторов, каждый из которых освещает угол величины $360^\circ /n$‍‍ так, чтобы осветить всю плоскость. Докажите, что это возможно при любом расположении данных точек, если

а) $n=3$‍;‍ б) $n=4$‍;‍ в) $n$‍‍ — любое натуральное чиcло.

г) Пусть теперь прожекторы освещают углы $\alpha_1$‍,‍ $\alpha_2$‍,‍ ..., $\alpha_n$‍‍ ($\alpha_1+\alpha_2+\ldots+\alpha_n=360^\circ$‍),‍ и составлены в одну точку так, что они освещают плоскость. Докажите, что можно перенести в каждую из данных точек по одному из $n$‍‍ прожекторов так, что вся плоскость будет по-прежнему освещена.

Внимание! Как указали некоторые читатели (первым — С. И. Шварцбурд), формулировка задачи М545 г) («Квант», № 1, 1979 г.) нуждается в уточнении. Приводим несколько изменённую формулировку этой задачи.

На плоскости задано $n$‍‍ точек. Кроме того, в некоторой точке $O$‍‍ плоскости расположены $n$‍‍ «прожекторов», которые освещают углы $\alpha_1$‍,‍ $\alpha_2$‍,‍ ..., $\alpha_n$‍‍ (с вершиной в точке $O$‍),‍ причём $0\lt \alpha_k\lt \pi$‍‍ для каждого $k=1$‍,‍ 2, ..., $n$‍,‍ и все прожекторы вместе целиком освещают плоскость. (Условие, выделенное курсивом, было пропущено. Подумайте, существенно ли оно? А если прожекторы разрешается вращать?) Докажите, что можно перенести в каждую из данных $n$‍‍ точек по одному из прожекторов так, что вся плоскость будет попрежнему освещена.

(В предыдущих пунктах задачи М545 рассматривается случай $\alpha_1=\alpha_2=\ldots=\alpha_n=\dfrac{2\pi}{n}$‍‍ при $n=3$‍,‍ $n=4$‍‍ и произвольном $n$‍,‍ причём прожекторы разрешается вращать.)

Это — очень трудная задача, решению которой предполагается посвятить отдельную заметку в конце года. Срок присылки решений задачи продлевается до 1 октября 1979 г. Мы будем рады, если кому-либо из читателей удастся найти интересные обобщения этой задачи — например, рассмотреть её пространственный аналог.