Пусть
$$
\rho(x,y)=\dfrac{|x-y|}{\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+\smash{y}\vphantom{x}^2}}.
$$
Докажите, что для любых действительных чисел $a$, $b$, $c$ выполнено неравенство
$$
\rho(a,c)\le\rho(a,b)+\rho(b,c).
$$
Формулу для «расстояния» $\rho$ можно существенно упростить, установив взаимно однозначное соответствие $y=\tg\alpha$ между числами $y\in\mathbb{R}$ и числами $\alpha\in\left(-\dfrac\pi2;\dfrac\pi2\right)$. Если $y_1=\tg\alpha_1$, $y_2=\tg\alpha_2$, то, заменив $\tg\alpha$ на $\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, получим
$$
\rho(y_1, y_2)=\dfrac{\lvert\tg\alpha_1-\tg\alpha_2\rvert}{\sqrt{1+\tg^2\alpha_1}\sqrt{1+\tg^2\alpha_2}}=\lvert\sin(\alpha_1-\alpha_2)\rvert.\tag1
$$
Таким образом, нужное нам неравенство треугольника для расстояния $\rho$ вытекает из следующего неравенства:
$$
\lvert\sin(\alpha_1-\alpha_3)\rvert\le\lvert\sin(\alpha_1-\alpha_2)\rvert+\lvert\sin(\alpha_2-\alpha_3)\rvert;\tag2
$$
справедливость последнего неравенства (для всех $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$) не вызывает сомнений: для любых $\beta$ и $\gamma$
$$
\begin{gather*}
\lvert\sin(\beta+\gamma)\rvert=\lvert\sin\beta\cos\gamma+\sin\gamma\cos\beta\rvert\le\\
\le\lvert\sin\beta\cos\gamma\rvert+\lvert\sin\gamma\cos\beta\rvert\le
\lvert\sin\beta\rvert+\lvert\sin\gamma\rvert;
\end{gather*}
$$
положив здесь $\beta=\alpha_1-\alpha_2$, $\gamma=\alpha_2-\alpha_3$, получим (2).
Эти формальные тригонометрические выкладки, как заметили многие читатели, можно прояснить с помощью геометрической интерпретации нашего расстояния $\rho$. Начертим на плоскости окружность, касающуюся координатной прямой $Oy$ в точке $O$ ($y=0$), с диаметром $|OP|=1$ и каждой точке $Y$ (с координатой $y$) нашей прямой поставим в соответствие пересечение $F=F(y)$ отрезка $PY$ с этой окружностью (рис. 4). Пусть $F_1=F(y_1)$, $F_2=F(y_2)$. Тогда $\rho(y_1, y_2)$ есть просто длина хорды$|F_1F_2|=\sin\beta$. (Это сразу ясно из (1), поскольку $\widehat{F_1PF_2}=|\alpha_1-\alpha_2|=\beta$, но легко установить и геометрически — например, заметив, что площадь треугольника на рисунке 4 с длиной основания $|y_1-y_2|$ и высотой длины 1 равна половине произведения $\sqrt{1+y_1^2}\sqrt{1+y_2^2}\sin\beta$.) Теперь «неравенство треугольника» очевидно.
Рис. 4
Отображение $y\to F(y)$ прямой на окружность и аналогичное отображение плоскости на сферу — «стереографическая проекция» — очень важный инструмент для решения разнообразных геометрических задач.
Читатели, знакомые с комплексными числами, оценят и такое решение (которое указал десятиклассник B. Губа из Вологды). После преобразования $y\to\dfrac1{y+i}=z(y)$ расстояние $\rho$ переходит в обычное расстояние между точками на комплексной плоскости: $\rho(y_1,y_2)=\left|\dfrac1{y_1+i}-\dfrac1{y_2+i}\right|$; заметим, что геометрическая интерпретация этого отображения приводит, по существу, к тому же рисунку 4.
