Дан прямоугольный треугольник $A_0A_1A_2$ с катетами $|A_0A_2|=a$ и $|A_1A_2|=b$. Муравей ползёт по бесконечной ломаной $A_2A_3A_4A_5\ldots$, где $A_nA_{n+1}$ — высота треугольника $A_{n-2}A_{n-1}A_n$.
Найдите длину его пути (из бесконечного числа отрезков).
Постройте предельную точку $L$, к которой приближается муравей. На каких расстояниях от катетов она находится?
Рассмотрим преобразование подобия $\mathit\Pi$, переводящее треугольник $A_0A_1A_2$ в треугольник $A_2A_3A_4$. Его коэффициент подобия
$$
k=\dfrac{|A_2A_3|}{|A_0A_1|}=\dfrac{ab}{a^2+b^2}.
$$
Преобразование $\mathit\Pi$, очевидно, отображает интересующую нас красную ломаную $\mathit\Gamma$, дополненную двумя начальными звеньями $[A_0A_1]$ и $[A_1A_2]$, в точности на $\mathit\Gamma$, поскольку $\mathit\Pi(A_n)=A_{n+2}$ для $n=0$, 1, 2, $\ldots$ (рис. 3). Поскольку $\mathit\Pi$ сокращает все расстояния в $k$ раз, длина $z$ ломаной $\mathit\Gamma$ определяется из уравнения
$$
k\left(|A_0A_1|+|A_1A_2|+z\right)=z,
$$
откуда
$$
z=\dfrac{k(\sqrt{a^2+b^2}+b)}{1-k}=\dfrac{(\sqrt{a^2+b^2}+b)ab}{a^2+b^2-ab}.
$$
(В этом рассуждении завуалирован обычный способ отыскания суммы бесконечной геометрической прогрессии: $(\sqrt{a^2+b^2}+b)(k+k^2+k^3+\ldots)=z$.)
Заметим, что каждый треугольник $A_nA_{n+1}A_{n+2}$ содержит следующий ($n=0$, 1, $\ldots$), а пересечение всех этих треугольников — точка $L$, к которой в пределе стремится муравей. Поскольку $\mathit\Pi(\triangle A_nA_{n+1}A_{n+2})=\triangle A_{n+2}A_{n+3}A_{n+4}$, получаем $\mathit\Pi(L)=L$, т. е. точка $L$ является \неподвижной точкой преобразования $\mathit\Pi$.
Рис. 3
Преобразование $\mathit\Pi$ — центрально подобное вращение; его можно получить как композицию поворота на $90^\circ$ и гомотетии (с коэффициентом $k$) с центром $L$. Отсюда следует, что $\widehat{A_0LA_2}=\widehat{A_2LA_4}=90^\circ$; таким образом, точку $L$ можно построить как пересечение двух полуокружностей с диаметрами $[A_0A_2]$ и $[A_2A_4]$ или ещё проще — опустить из $A_2$ перпендикуляр $A_2L$ на отрезок $A_0A_4$. А найти расстояния $x$ и $y$ от точки $L$ до катетов длины $a$ и $b$ треугольника $A_0A_1A_2$ можно, воспользовавшись либо тем, что $L\in[A_0A_4]$ и $|LA_4|:|LA_0|=k^2$, либо тем, что перпендикуляры, опущенные из $L$ на отрезки $A_0A_2$, $A_2A_4$, $A_4A_6$, получаются друг из друга преобразованием $\mathit\Pi$, откуда
$$
\left\{\begin{array}{l}
y=kx,\\
ka-x=ky
\end{array}\right.
$$
(на рисунке 3 отрезок длины $x$ голубой, отрезок длины $y=kx$ — зеленый, отрезок длины $ky$ — снова голубой). Таким образом,
$$
\begin{align*}
x&=\dfrac{ka}{k^2+1}=\dfrac{a^2b(a^2+b^2)}{a^4+3a^2b^2+b^4},\\
y&=\dfrac{k^2a}{k^2+1}=\dfrac{a^3b^2}{a^4+3a^2b^2+b^4}.
\end{align*}
$$
В ряде писем эти ответы получены как суммы геометрической прогрессии со знаменателем $k^2$ — коэффициентом гомотетии преобразования $\mathit\Pi^2$.
