Задача М528‍‍

Докажем, прежде всего, что требуемая перестановка фишек сохраняет расстояния между любыми двумя фишками. Это можно сделать многими разными способами.

Первый способ. Сумма всех попарных расстояний между фишками не изменяется. Отсюда следует, что ни одно из расстояний не может увеличиться (действительно, если после перестановки фишек расстояние между какими-либо фишками увеличится, то, поскольку сумма всех расстояний постоянна, найдутся фишки, расстояние между которыми уменьшится, что противоречит условию перестановки).

Второй способ. Угловые фишки $A$‍,‍ $B$‍,‍ $C$‍,‍ $D$‍‍ (рис. 1) по-прежнему должны остаться угловыми, поскольку расстояние от каждой из них до фишки в противоположном (по диагонали) углу не может измениться (это расстояние, равное длине диагонали доски, максимально: $|AC|=|BD|\ge|KL|$‍,‍ где $K$‍‍ и $L$‍‍ — произвольные клетки доски). Итак, эти четыре фишки по-прежнему занимают четыре угла доски, причём их новые положения $A'$‍,‍ $B'$‍,‍ $C'$‍,‍ $D'$‍‍ — по-прежнему четыре последовательные вершины квадрата (рис. 2). Тогда расстояния от фишки $M$‍‍ до сторон квадрата $ABCD$‍‍ должны равняться расстояниям от её образа — фишки $M'$‍‍ — до соответствующих сторон квадрата $A'B'C'D'$‍:‍ иначе бы расстояния от $M$‍‍ до каких-то двух соседних сторон квадрата не увеличились, а одно из них — строго уменьшилось; но тогда расстояние до общей вершины этих сторон тоже должно было бы уменьшиться.

Из наших доказательств ясно, что нужная перестановка фишек определяет некоторое перемещение квадрата $ABCD$‍‍ на самого себя. Таких самосовмещений существует восемь (включая тождественное, при котором все точки остаются на месте): вершина $A$‍‍ может попасть в любую из четырёх других, а при этом вершина $B$‍‍ — в одну из двух соседних с ней вершин.

Заметим, что основной результат задачи допускает такое красивое обобщение: если $f$‍‍ — непрерывное отображение замкнутого ограниченого множества (на плоскости или в пространстве) в себя, такое, что для любых двух точек $M$‍,‍ $N$‍‍ $$ \rho(f(M),f(N))\ge\rho(M,N),\tag{*} $$ то для любых двух точек $M$‍‍ и $N$‍‍ нервенство (*) будет равенством. Однако доказательство этого факта довольно сложно (см. Н. Бурбаки «Общая топология» (М.: Наука, 1975), задача 11 к § 2 главы IХ).