Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна
$$
S=\dfrac{\tg\phi\,|a^2-b^2+c^2-d^2|}4,
$$
где $a$, $b$, $c$ и $d$ — длины последовательных сторон четырёхугольника, $\phi$ — величина угла между его диагоналями, $\phi\ne90^\circ$
Можно ли найти площадь $S$, зная $a$, $b$, $c$ и $d$, если $\phi=90^\circ$?
а) Пусть $ABCD$ — данный четырёхугольник, $|AB|=a$, $|BC|=b$, $|CD|=c$, $|DA|=d$ (рис. 4). Тогда
$$
S=\dfrac12|AC|\cdot|BD|\cdot\sin\phi.
$$
Попробуем выразить площадь $S$ четырёхугольника $ABCD$ через скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BD}$. Ясно, что выполняется одно из следующих равенств:
$$
(\widehat{\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}})=\phi\quad\text{или}\quad
(\widehat{\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}})=\pi-\phi.
$$
Поэтому $\lvert\cos{}(\widehat{\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}})|=\cos\phi$. Если $\phi\ne\dfrac\pi2$, то $$
\begin{gather*}
S=\dfrac12|AC|\cdot|BD|\cdot\cos\phi\cdot\tg\phi=
\dfrac12|AC|\cdot|BD|\cdot\lvert\cos{}(\widehat{\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}})|\tg\phi=\\
=\dfrac12||\overrightarrow{AC}|\cdot|\overrightarrow{BD}|\cos{}(\widehat{\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}})|\cdot\tg\phi=\dfrac12|\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}|\cdot\tg\phi.
\end{gather*}
$$
Однако
$$
\begin{gather*}
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=
\overrightarrow{AC}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=
\dfrac12(2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}-2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB})=\\
=\dfrac12[(\overrightarrow{AC})^2+(\overrightarrow{AD})^2-(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD})^2-((\overrightarrow{AC})^2+(\overrightarrow{AB})^2-(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})^2)]=\\
=\dfrac12((\overrightarrow{BC})^2-(\overrightarrow{CD})^2+(\overrightarrow{DA})^2-(\overrightarrow{AB})^2);
\end{gather*}
$$
поэтому
$$
S=\dfrac12|\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}|\cdot\tg\phi=\dfrac14|a^2-b^2+c^2-d^2|\cdot\tg\phi.
$$
Рис. 4Рис. 5Рис. 6
б) При $\phi=90\degree$ выразить площадь $S$ выпуклого четырёхугольника через длины $a$, $b$, $c$, $d$ его сторон нельзя. Заметим, что в этом случае $a^2-b^2+c^2-d^2=0$. Пусть $a$ — наименьшее из чисел $a$, $b$, $c$, $d$. Отрезок длины $a$ с концами на лучах $l_1$ и $m_1$ (рис. 5) можно достроить до четырёхугольника с заданными сторонами; меняя положения отрезка, мы получим целое семейство таких четырёхугольников (с разными углами при вершинах). Докажем, что площади всех этих четырёхугольников не равны одному и тому же числу. Для этого, воспользовавшись равенством (рис. 6)
$$
S=\dfrac12(ab\sin\phi+cd\sin\psi),
$$
где $\phi$ и $\psi$ — углы при вершинах $A$ и $C$ четырёхугольника, найдём, какие значения может принимать величина $S$.
Углы $\phi$ и $\psi$ связаны соотношением
$$
a^2+b^2-2ab\cos\psi=c^2+d^2-2cd\cos\psi\tag{*}
$$
(теорема косинусов).
Будем считать, что угол $\psi$ есть функция от $\phi$. Из соотношения (*)
$$
\psi'=\dfrac{ab\sin\phi}{cd\sin\psi},\tag{**}
$$
так что для производной $S'$ (по $\phi$) получаем:
$$
S'=\dfrac12(ab\cos\phi+\psi'cd\cos\psi)=\dfrac{ab}2\left(\cos\phi+\dfrac{\cos\psi}{\sin\psi}\sin\phi\right)=\dfrac{ab}{2\sin\phi}\sin{}(\phi+\psi).
$$
Мы видим, что $S'=0$, когда $\sin{}(\phi+\psi)=0$, т. е. когда $\phi+\psi=180\degree$. Это значит, что около соответствующего четырёхугольника можно описать окружность.
Мы почти доказали знаменитую теорему Штейнера о том, что из всех четырёхугольников с заданными длинами сторон наибольшую площадь имеет тот, вокруг которого можно описать окружность. Почти — потому, что нужно еще проверить, что в указанном нуле производной $S'$ функция $S=S(\phi)$ действительно имеет максимум. Мы ограничимся проверкой этого утверждения только для рассматриваемого нами случая, когда диагонали четырёхугольника перпендикулярны (пока мы этим обстоятельством не пользовались).
Заметим, что производная $\phi'$ неотрицательна (это видно из формулы (**)), так что при росте угла $\phi$ угол $\psi$ также растёт. Минимальное значение угол $\phi$ принимает в четырёхугольнике на рисунке 7, а, а максимальное — на рисунке 7, б (напомним, что $a$ — минимально). Поэтому, сумма $\phi+\psi$ меняется от некоторого значения, меньшего $180\degree$, до некоторого значения, большего $180\degree$ и меньшего $360\degree$. Производная $S'$ положительна при $\phi+\psi\lt180\degree$, равна нулю при $\phi+\psi=180\degree$ и меньше нуля при $180\degree\lt\phi+\psi\lt360\degree$. Следовательно, сама функция $S$ возрастает при $\phi+\psi\lt180\degree$ и достигает максимума при $\phi+\psi=180\degree$, после чего убывает; так что минимум $S$ достигается в одной из концевых точек (соответствующих рисункам 7, а, б). Несложно вычислить (сделайте это самостоятельно), что максимальная площадь $S_{\text{max}}$ равна $\dfrac{ac+bd}2$, а в концевых точках $S_1=\dfrac12(a+d)\sqrt{b^2-a^2}$ и $S_2=\dfrac12(a+b)\sqrt{d^2-a^2}$ соответственно ($S_1\lt S_2$, если $b\lt d$; $S_1=S_2$, если $b=d$; $S_1\gt S_2$, если $b\gt d$). График функции $S$ изображён на рисунке 8, площадь $S$ (четырёхугольника с заданными длинами сторон и взаимно перпендикулярными диагоналями) может принимать любые значения в пределах $S_1\le S\le S_{\text{max}}$, $S_2\le S\le S_{\text{max}}$.
