Проведём через два противоположных ребра $AB$ и $CD$ тетраэдра $ABCD$ параллельные плоскости $\mathit\Pi_1$ и $\mathit\Pi_2$ (рис. 3). Пусть $h$ — расстояние между ними. Будем рассматривать лишь проекции тетраэдра на плоскости, перпендикулярные $\mathit\Pi_1$, и уже среди них найдём такие, отношение площадей проекций тетраэдра на которые не меньше $\sqrt2$.
Пусть $A_1B_1C_1D_1$ — проекция тетраэдра $ABCD$ нa такую плоскость $\alpha$. Тогда $[A_1B_1]\subset\mathit\Pi_1\cap\alpha$, $[C_1D_1]\subset\mathit\Pi_2\cap\alpha$ и, следовательно,$[A_1B_1]\parallel[C_1D_1]$. Таким образом, проекция $A_1B_1C_1D_1$ тетраэдра $ABCD$ на плоскость $\alpha$ — это трапеция с высотой длины $h$ (в некоторых случаях вырождающаяся в треугольник). Средняя линия $KL$ трапеции $A_1B_1C_1D_1$ — это проекция параллелограмма $PQRS$, где $P$, $Q$, $R$, $S$ — середины ребер $AC$, $AD$, $BD$ и $BC$ тетраэдра $ABCD$ соответственно (см. рис. 3). (Действительно, все точки $K$, $L$, $P$, $Q$, $R$, $S$ лежат в плоскости, параллельной плоскостям $\mathit\Pi_1$ и $\mathit\Pi_2$ и равноудалённой от них.) Вершины параллелограмма $P$, $Q$, $R$, $S$ проектируются в точки пересечения средней линии $KL$ с отрезками $A_1C_1$, $A_1D_1$, $B_1D_1$ и $B_1C_1$ соответственно. Для определённости будем считать, что $[PQ]$ — меньшая сторона параллелограмма, а $[PR]$ — большая из его диагоналей. Очевидно, $\dfrac{|PR|}{|PQ|}\ge\sqrt2$
Возьмём теперь плоскость $\alpha_1$, параллельную диагонали $PR$ (и, конечно, перпендикулярную плоскости $\mathit\Pi_1$), и плоскость $\alpha_2$, перпендикулярную $[PS]$ ($\alpha_2\perp\mathit\Pi_1$). Длина средней линии трапеции (проекции тетраэдра) в первом случае равна $|PR|$, a во втором — не больше $|PQ|$.В первом случае площадь проекции тетраэдра равна $h\cdot|PR|$, во втором — не более $h\cdot|PQ|$. Отношение этих площадей не меньше $\sqrt2$.
Для правильного тетраэдра оценка $\sqrt2$ — наилучшая: площади проекций правильного тетраэдра на плоскости $\alpha_1$ и $\alpha_2$ будут равны $\dfrac{a^2}2$ и $\dfrac{a^2}{2\sqrt2}$, где $a$ — длина ребра тетраэдра. Но это также требует доказательства.
