Задача М524‍‍

Если $1978^m-1$‍‍ при некотором натуральном $m$‍‍ делится на $1000^m-1$‍,‍ то при этом $m$‍‍ разность $(1978^m-1)-(1000^m -1)=1978^m-1000^m$‍‍ также делится на $1000^m-1$‍.‍ $$ 1978^m-1000^m=2^m(989^m-500^m). $$ Поскольку $1000^m-1$‍‍ — число нечётное, на $1000^m-1$‍‍ должна делиться разность $989^m-500^m$‍.‍ Но это невозможно, так как для любого натурального $m$‍‍ $$ 989^m-500^m \lt 1000^m-1. $$ Полученное противоречие решает задачу.

Некоторые наши читатели получали утверждение задачи, доказывая, что максимальная степень тройки, на которую делится число $1000^m-1$‍,‍ больше, чем максимальная степень тройки, на которую делится число $1978^m-1$‍.‍