Задача М521‍‍

По аналогии с целой частью числа обозначим через $]a[$‍‍ целое число, ближайшее к $a$‍.‍ Например, $\left]\dfrac54\right[=1$‍,‍$\left]\dfrac74\right[=2$‍,‍ $]\sqrt3[=2$‍‍ и так далее.

Пока всё ясно. A как быть с числом $\dfrac32$‍?‍ Чему равно $\left]\dfrac32\right[$‍:‍ 1 или 2?

Мы видим, что понятие «ближайшее целое» для чисел вида $\dfrac m2$‍‍‚ где $m$‍‍ — нечётное число — нуждается в уточнении. Однако для решения задачи это уточнение не требуется, поскольку при любом натуральном $n$‍‍ число $\sqrt n$‍‍ — либо натуральное, либо иррациональное (докажите!).

Вычислим первые члены последовательности $a_1=]\sqrt1[$‍,‍ $a_2=]\sqrt2[$‍,‍ $\ldots$‍:‍ 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, $\ldots$‍‍ Мы замечаем, в этой последовательности 1 втречается 2 раза, 2 встречается 4 paзa, 3 — 6 раз. Поэтому естественно предположить, что в нашей последовательности каждое натуральное число $k$‍‍ встречается $2k$‍‍ раз. Для доказательства этого предположения нам достаточно показать, что при любом натуральном $k$‍‍ неравенство $k-\dfrac12\lt\sqrt x\lt k+\dfrac12$‍‍ имеет ровно $2k$‍‍ решений в натуральных числах.

Возведя каждую из частей этого неравенства в квадрат, получим равносильное неравенство $$ k^2-k+\dfrac14\lt x\lt k^2+k+\dfrac14 $$

Это неравенство имеет ровно $2k$‍‍ решений: $k^2-k+1$‍,‍ $k^2-k+2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $k^2+k$‍,‍ что и требовалось доказать.

Теперь мы легко можем вычислить сумму $$ \begin{gather*} S=\dfrac1{]\sqrt1[}+\dfrac1{]\sqrt2[}+\ldots+\dfrac1{]\sqrt{1980}[}=\\[9pt] =\left(\dfrac11+\dfrac11\right)+\left(\dfrac12+\dfrac12+\dfrac12+\dfrac12\right)+\ldots+ \left(\smash{\underbrace{\dfrac1{44}+\ldots+\dfrac1{44}}_{\text{88 раз}}} \vphantom{\dfrac00}\right)\vphantom{\underbrace{\dfrac00}_{\text{8р}}}. \end{gather*} $$

Так как сумма чисел в каждой круглой скобке равна 2, $S=88$‍.‍