Проведём $(NC)\parallel(BM)$ и $(BN)\parallel(MC)$ (рис. 4). Тогда четырёхугольники $BNCM$ и $ANCD$ — параллелограммы, откуда следует, что $\widehat{NAB}=\widehat{CDM}$, $\widehat{NCB}=\widehat{CBM}$.
Рисунок номер 4
По условию $\widehat{CBM}=\widehat{CDM}$; следовательно, $\widehat{NAB}=\widehat{NCB}$ и точки $A$, $B$, $N$, $C$ лежат на одной окружности. Поэтому $\widehat{NBC}=\widehat{NAC}$. Но $\widehat{NBC}=\widehat{BCM}$, а $\widehat{NAC}=\widehat{ACD}$ (четырёхугольники $BNCM$ и $ANCD$ — параллелограммы). Поэтому $\widehat{BCM}=\widehat{ACD}$, что и требовалось доказать.
Приведём ещё одно решение этой задачи, основанное на том, что четырёхугольники $ABCD$ и $MB'C'D'$ подобны; здесь $B'=(BM)\cap(DC)$, $D'=(DM)\cap(BC)$. Действительно, у этих четырёхугольников угол $C$ общий, а остальные углы попарно конгруэнтны: $\widehat{A}=\widehat{M'}$, $\widehat{B}=\widehat{B'}$, $\widehat{D}=\widehat{D'}$. Однако одной конгруэнтности углов для подобия четырёхугольников недостаточно. Заметим теперь, что треугольники $BD'M$ и $DMB'$ подобны. Из этого подобия и того, что четырёхугольник $ABMD$ — параллелограмм, вытекает равенство
$$
\left|\dfrac{MB'}{AB}\right|=\left|\dfrac{MD'}{AD}\right|,
$$
из которого уже следует подобие четырёхугольников $ABCD$ и $MB'C'D'$. Из этого подобия в свою очередь следует, что $\widehat{ACD}=\widehat{MCD'}$ ($=\widehat{MCB}$).
