Назовём число уравновешенным, если в его десятичной записи некоторое начало совпадает с некоторым концом (например, числа 1971, 19219 — уравновешены, а число 1415145 — нет). Докажите, что существует число, которое после приписывания к нему справа любой из 10 цифр становится уравновешенным.
Возьмём число $a_0=0$; припишем к нему слева и справа по единице — получим число $a_1=101$. К каждой цифре числа 101 справа припишем цифру 2, после чего к числу 120212 припишем двойку слева; получим число $a_2=2120212$. С этим числом проделаем ту же операцию, приписывая к каждой его цифре тройку справа и затем тройку в начало; получим число $a_3=323132303231323$. Продолжая указанным способом последовательно приписывать цифры 4, 5, $\ldots$, 9, получим в результате число $a_9=9897989\ldots909\ldots9897989$, состоящее из $2^{10}-1=1023$ цифр, которое и является искомым.
В самом деле, нетрудно (индукцией по $k$) доказать, что число $a_k$ ($k=0$, 1 , 2, $\ldots$, 9) обладает тем свойством, что после приписывания к нему справа любой из цифр 0, 1, $\ldots$, $k$ некоторое его начало совпадает с концом; а именно, если приписать к нему цифру $m\le k$, то первые $2^{k-m}$ цифр — такие же, как последние $2^{k-m}$ цифр (рис. 7).
Наша конструкция позволяет построить «слово», становящееся уравновешенным после приписывания любой буквы, для алфавита из произвольного количества $N$ букв (в исходной задаче алфавит состоит из 10 «букв» $\{0,1,\ldots,9\}$).
