Задача М497‍‍

Решение этой задачи использует следующую хорошо известную теорему:

Если три окружности попарно пересекаются, то три общие хорды каждой пары окружностей (или их продолжения) проходят через одну точку или параллельны (рис. 4).

Сначала мы решим задачу, а затем дадим набросок доказательства теоремы.

Построим на отрезках $AB$‍,‍ $AA_1$‍‍ и $BB_1$‍‍ как на диаметрах окружности $O_{AB}$‍,‍ $O_{AA_1}$‍‍ и $O_{BB_1}$‍‍ соответственно. Общей хордой окружностей $O_{AB}$‍‍ и $O_{AA_1}$‍‍ является, очевидно, высота $AH_A$‍‍ треугольника $ABC$‍‍ (поскольку $\widehat{AH_AB}=\widehat{AH_AA_1}=90^\circ$‍;‍ рис. 5). Точно так же общей хордой окружностей $O_{AB}$‍‍ и $O_{BB_1}$‍‍ является высота $BH_B$‍‍ треугольника. Из сформулированной выше теоремы следует, что общая хорда окружностей $O_{AA_1}$‍‍ и $O_{BB_1}$‍‍ проходит через точку пересечения высот $AH_A$‍‍ и $BH_B$‍‍ треугольника $ABC$‍.‍

Рис. 4. Рис. 5.

Аналогично доказывается, что общие хорды двух других пар окружностей: $O_{AA_1}$‍‍ и $O_{CC_1}$‍,‍ $O_{CC_1}$‍‍ и $O_{BB_1}$‍‍ проходят через точку пересечения высот треугольника $ABC$‍.‍ Задача решена.

Осталось доказать теорему.

Построим на данных окружностях (лежащих в горизонтальной плоскости) три сферы с центрами в плоскости окружностей и посмотрим на них сверху. Мы увидим три окружности, по которым пересекаются сферы (их проекции на горизонтальную плоскость — наши три хорды), и точку их пересечения (её проекция — нужная точка пересечения хорд).