Возьмём четверть круга единичного радиуса: $O$ — центр круга, $[OA]$ — радиус, $|OA|=1$ (рис. 6). Разделим отрезок $OA$ на $n$ конгруэнтных частей ($n$ — произвольное натуральное число). На получившихся первых $n-1$ отрезках деления (считая от точки $O$) построим по прямоугольнику так, чтобы правые верхние вершины всех прямоугольников лежали на дуге окружности $BA$, ограничивающей нашу «четверть круга» (см. рис. 6). Мы получим $n-1$ прямоугольников, сумма площадей которых меньше площади четверти круга единичного радиуса, то есть меньше $\dfrac{\pi}{4} \lt 0{,}79$.
Рис. 6.
Поскольку эта сумма равна
$$\begin{gathered}
\frac1n\sqrt{1-\left(\frac1n\right)^2}+\frac1n\sqrt{1-\left(\frac2n\right)^2}+\ldots
+\frac1n\sqrt{1-\left(\frac{n-1}{n}\right)^2}=\\
=\frac1{n^2}\left(\sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2-2^2}+\ldots+\sqrt{n^2-(n-1)^2}\right),
\end{gathered}$$
из сказанного следует правое неравенство.
Рис. 7.
Чтобы доказать левое неравенство, поступим следующим образом. Построим по прямоугольнику теперь уже на всех отрезках, получившихся при делении $[OA]$ — всего $n$ прямоугольников, причём так, чтобы все левые верхние вершины прямоугольников лежали на дуге $BA$ окружности (рис. 7). Мы получим изображённую на рисунке 7 ступенчатую фигуру, площадь которой уже больше площади четверти круга единичного радиуса, то есть больше $\dfrac{\pi}{4} \gt 0{,}785$. Площадь ступенчатой фигуры равна сумме площадей $n$ прямоугольников с основаниями длины $\dfrac1n$ и высотами длины
$$
1,\quad \sqrt{1-\left(\frac1n\right)^2},\quad \sqrt{1-\left(\frac2n\right)^2},\quad \ldots,\quad \sqrt{1-\left(\frac{n-1}{n}\right)^2}
$$
соответственно:
$$
\frac1n\left(1+\sqrt{\frac{n^2-1}{n^2}}+\sqrt{\frac{n^2-2^2}{n^2}}+\ldots+\sqrt{\frac{n^2-(n-1)^2}{n^2}}\right).
$$
Итак,
$$
\frac1{n^2}\left(n+\sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2-2^2}+\ldots+\sqrt{n^2-(n-1)^2}\right) \gt 0{,}785,
$$
откуда
$$
0{,}785\,n^2-n \lt \sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2-2^2}+\ldots+\sqrt{n^2-(n-1)^2}.
$$
