Задача М488‍‍

Рассмотрим последовательность многочленов $P_0$‍,‍ $P_1$‍,‍ $P_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ определяемую условиями $P_0(x)=1$‍,‍ $P_1(x)=x$‍,‍ $$ P_{n+1}(x)=x\,P_n(x)-P_{n-1}(x),\quad n\ge1.\tag1 $$ Докажите равенства‍

1. $$\underbrace{x-\dfrac1{x-\dfrac1{x-\dfrac1{\raisebox{4pt}{$\ddots\vphantom{\dfrac00}$}{}-\dfrac1x}}}}_{n~\text{раз}}=\dfrac{P_n(x)}{P_{n-1}(x)};$$
2. $$\dfrac{\sin{(n+1)\phi}}{\sin\phi}=P_n(2\cos\phi),\quad\text{если}~\dfrac\phi\pi~\text{— не целое};$$
3. $$t^{n+1}-\dfrac1{t^{n+1}}=\left(t-\dfrac1t\right)P_n{\left(t+\dfrac1t\right)},\quad\text{если}~t\ne0;$$
4. $$P_n(x)=\prod\limits_{1\le k\le n}\left(x-2\cos\dfrac{\pi k}{n+1}\right);$$
5. $$P_n(x)=\textstyle\sum\limits_{0\le j\le n/2}{(-1)^j}C_{n-j}^jx^{n-2j};$$
6. $$\prod\limits_{1\le k\le m}\cos\dfrac{k\pi}{2m+1}=\dfrac1{2^m}.$$

Придумайте и докажите аналогичные равенства для последовательности многочленов, определяемых тем же соотношением (1), но начинающейся с $P_0(x)=2$‍,‍ $P_1(x)=x$‍.‍