Задача М485‍‍‍

1. Докажите, что число $e$‍‍ заключено между числами $a_n=\left(1+\dfrac1n\right)^n$‍‍ и $b_n=\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}$‍‍ при любом натуральном $n$‍.‍
2. Докажите, что последовательность $c_n=\left(1+\dfrac1{4n}\right)\left(1+\dfrac1n\right)^n$‍‍ монотонно возрастает, а последовательность $d_n=\left(1+\dfrac1{2n}\right)\left(1+\dfrac1n\right)^n$‍‍ монотонно убывает.
3. Разделим отрезок $[a_n;b_n]$‍‍ на четыре равных по длине отрезка. В каком из них лежит число $e$‍?‍
4. Разделим отрезок $[a_n;b_n]$‍‍ на восемь равных частей. В какой из них лежит $e$‍?‍
5. А если отрезок $[a_n;b_n]$‍‍ разделить на $2^k$‍‍ равных частей (в этой задаче интересно получить ответ для достаточно больших $n$‍,‍ например, для $n\gt2^k$‍)?‍

$\Big($‍‍Напомним, что $e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^n=2{,}718\ldots$‍,‍ см. учебник «Алгебра и начала анализа 10», пп. 106, 113.$\Big)$‍‍