Задача М480‍‍‍

Последовательность $c_n$‍‍ строится по следующему правилу: $c_1=2$‍,‍ $c_{n+1}=[3c_n/2]$‍‍ для $n\ge 1$‍‍‍. Докажите, что

1. в этой последовательности бесконечно много чётных чисел и бесконечно много нечётных чисел;
2. последовательность $e_n=(-1)^{c_n}$‍‍ непериодическая;
3. существует число $\gamma$‍‍ такое, что $c_n=\left[\left(\dfrac32\right)^n\gamma\right]$‍.‍

Поправка

В формулировку задачи М480, опубликованной в № 12 за 1977 г., вкралась ошибка. Задачу М480 в) следует читать так: последовательность $C_n$‍‍ определяется условиями $C_1=2$‍,‍ $C_{n+1}=[3C_n/2]$‍‍ для $n\ge1$‍;‍ докажите, что существует число γ такое, что $C_n=[(3/2)^n\gamma]+1$‍‍ (здесь $[x]$‍‍ — целая часть $x$‍).‍

(В № 12 в формуле для $C_n$‍‍ была опущена единица.)