Задача М461‍‍‍

На столе стоят чашечные весы и $n$‍‍ гирь различных масс. Гири по очереди ставятся на чашки весов (на каждом шаге со стола берётся любая гиря и добавляется на ту или другую чашку весов).

1. Докажите, что гири можно ставить в таком порядке, чтобы сначала перевесила левая чашка, затем правая, потом снова левая, снова правая и т. д.

Этой последовательности результатов взвешиваний сопоставим слово из букв $L$‍‍ и $R$‍:‍ $LRLRLR\ldots$‍‍ Здесь буква $L$‍‍ означает, что перевесила левая чашка, а буква $R$‍‍ означает, что перевесила правая чашка.

1. Докажите, что для любого слова длины $n$‍‍ из букв $L$‍‍ и $R$‍‍ можно в таком порядке ставить гири на чашки весов, чтобы это слово соответствовало последовательности результатов взвешиваний.