Задача М457‍‍

Рассмотрим какие-нибудь два последовательных звена $AB$‍‍ и $BC$‍‍ ломаной. Продолжим эти звенья за вершину $B$‍;‍ получим лучи $BK$‍‍ и $BL$‍‍ (рис. 2). Объединение таких двух лучей назовём уголком. Такой уголок можно построить при каждой вершине ломаной. Легко понять, что количество особенных пар равно количеству пересечений звеньев с уголками. Мы утверждаем, что каждый уголок пересекается с ломаной в чётном числе точек. В самом деле, пройдя из соседней с $B$‍‍ вершины $A$‍‍ ломаной в другую соседнюю с $B$‍‍ вершину $C$‍,‍ мы видим, что наша ломаная входит внутрь уголка столько же раз, сколько выходит из него (поскольку точки $A$‍‍ и $C$‍‍ обе находятся вне уголка). Значит, и число особенных пар звеньев тоже чётно.