Достаточно указать $n$ отрезков вида $[b_i, 2b_i]$ ($i=1$, 2, $\ldots$, $n$), объединение которых содержит все суммы некоторых из данных $n$ чисел: тогда суммы, принадлежащие каждому отрезку, образуют группу чисел, удовлетворяющих нужному условию.
Эти отрезки можно строить по-разному. Приведём самый красивый способ (его указал Д. Бернштейн).
Занумеруем данные числа в порядке возрастания: $a_1\le a_2\le\ldots\le a_n$, положим $b_i=\dfrac{a_1+a_2+\ldots+a_i}2$ и докажем, что каждая сумма некоторых из чисел $a_i$ попадает в один из отрезков $[b_i, 2b_i]$.
Ясно, что наименьшая «сумма» $a_1\in[b_1, 2b_1]$, так как $2b_1=a_1$, а наибольшая — $(a_1+\ldots+a_n)\in[b_n, 2b_n]$, так как $2b_n=a_1+\ldots+a_n$. Осталось доказать, что невозможен случай, когда некоторая сумма $s$ лежит между $2b_k$ и $b_{k+1}$. Пусть
$$
s\gt2b_k=a_1+a_2+\ldots+a_k.\tag{1}
$$
Тогда $s$ содержит некоторое $a_i \ge a_{k+1}$, т. е.
$$
s\ge a_{k+1}.\tag{2}
$$
Сложив (1) и (2), получим $2s\ge a_1+\ldots+a_k+a_{k+1}$, т. е. $s\ge b_{k+1}$. Значит, $s$ не может лежать между $2b_k$ и $b_{k+1}$.
