В окружность вписаны треугольники $T_1$ и $T_2$, причём вершины треугольника $T_2$ являются серединами дуг, на которые окружность разбивается вершинами треугольника $T_1$. Докажите, что в шестиугольнике $T_1\cap T_2$ диагонали, соединяющие противоположные вершины, параллельны сторонам треугольника $T_1$ и пересекаются в одной точке.
Н. Ю. Нецветаев
Всесоюзная математическая олимпиада школьников (XI, 1977 год, 8–10 классы)
Пусть $A$, $B$ и $C$ — вершины треугольника $T_1$, а $A'$, $B'$ и $C'$ — вершины треугольника $T_2$ (причём $A'$ — середина дуги $BC$, $B'$ — середина дуги $AC$ и $C'$ — середина дуги $AB$, рис. 2). Прямые $AA'$, $BB'$ и $CC'$, являющиеся биссектрисами углов треугольника $T_1$, пересекаются в центре $O$ вписанной в треугольник $T_1$ окружности. Пусть $MN$ — диагональ, соединяющая противоположные вершины $M$ и $N$ шестиугольника $T_1\cap T_2$ ($M=[AB]\cap[B'C']$, $N=[BC]\cap[A'B']$). Докажем, что $(MN)$ параллельна $(AC)$ и проходит через точку $O$ (из этого будет следовать утверждение задачи). Для этого мы докажем, что отрезки $OM$ и $ON$ параллельны $AC$. Тогда $[OM]\parallel[ON]\parallel(AC)$, откуда следует, что точки $M$, $O$ и $N$ лежат на одной прямой, параллельной $(AC)$. Итак, нужно доказать, что $[OM]\parallel(AC)$ (доказательство параллельности $[ON]$ и $(AC)$ аналогично). Пусть $K=[OA]\cap[B'C']$. Заметим, что угол $C'KA'$ опирается на дуги, величины которых в сумме составляют $180^\circ$ (почему?), и, следовательно, прямой. Таким образом, $[B'K]$ в треугольнике $OB'A$ является одновременно биссектрисой и высотой. Следовательно, $[B'C']$ — серединный перпендикуляр к отрезку $AO$; поэтому $|AM|=|OM|$ и $\widehat{OAM}=\widehat{AOM}$. Но $\widehat{OAM}=\widehat{OAC}$ и, значит, $\widehat{AOM}=\widehat{OAC}$. А это и означает, что отрезок $OM$ параллелен стороне $AC$, что и требовалось доказать.
