Задача М451‍‍

Обозначим для отмеченной точки $x$‍‍ через $a_x$‍‍ написанное около неё число, а через $nx$‍‍ — количество попарно различных прямых, соединяющих точку $x$‍‍ со всеми другими отмеченными точками. Пусть $S$‍‍ — сумма чисел, написанных около всех отмеченных точек. По условию, сумма чисел в отмеченных точках каждой из $n_x$‍‍ прямых, проходящих через $x$‍,‍ равна нулю. Поэтому и сумма чисел по всем этим $n_x$‍‍ прямым равна нулю. С другой стороны, эта сумма равна $(n_x-1)a_x+S$‍,‍ так что $$ (n_x-1)a_x+S=0.\tag{1} $$

Предположим, что для некоторой точки $x$‍‍ число $a_x\gt0$‍.‍ Тогда найдётся отмеченная точка $y$‍,‍ около которой написано число $a_y\lt0$‍‍ (докажите!). Воспользовавшись (1), получим равенство $$ (n_y-1)a_y+S=(n_x-1)a_x.\tag{2} $$ По условию все отмеченные точки не лежат на одной прямой. Поэтому $n_x\gt1$‍‍ и $n_y\gt1$‍.‍ Мы пришли к противоречию, так как в равенстве (2) справа и слева стоят числа разных знаков.