В данный сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей (рис. 1). Для каждой пары окружностей через точку касания проводится касающаяся их прямая. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку.
Докажем, что все эти прямые проходят через точку $M$ — середину дуги сегмента, дополняющего данный сегмент до круга. Обозначим границу этого круга через $\gamma$ (рис. 3).
Рис. 3
Через $K$ обозначим точку пересечения диаметра $MN$ окружности $\gamma$ с хордой $AB$ данного сегмента. Пусть $\gamma_1$ и $\gamma_2$ — две произвольные окружности, вписанные в сегмент и касающиеся друг друга в точке $P$; $C$ и $D$ — точки касания $\gamma_1$ и $\gamma_2$ с окружностью $\gamma$, $E$ и $F$ — точки пересечения отрезков $MC$ и $MD$ с $\gamma_1$ и $\gamma_2$ соответственно. Рассмотрим гомотетию $\mathit\Gamma_1$, с центром $C$ и коэффициентом, равным отношению радиуса окружности $\gamma$ к радиусу окружности $\gamma_1$. Очевидно, что $\mathit\Gamma_1(\gamma_1)=\gamma$, и прямая $AB$, касательная к $\gamma_1$ и перпендикулярная $MN$, переходит в прямую $l$, касающуюся окружности $\gamma$ в точке $M$: $\mathit\Gamma_1(AB)=l$. Кроме того, $\mathit\Gamma_1(E)=M\in l$, откуда получаем, что $E\in[AB]$. Аналогично доказывается, что и $F\in[AB]$
Далее, из подобия прямоугольных треугольников $MCN$ и $MKE$ (см. рис. 3) следует, что $|MN|\cdot|MK|=|MC|\cdot|ME|$. Аналогично $|MN|\cdot|MK|=|MD|\cdot|MF|$. Отсюда $|MC|\cdot|ME|=|MD|\cdot|MF|$.
Докажем теперь, что прямая $MP$ (напомним, что $P$ — точка касания окружностей $\gamma_1$ и $\gamma_2$) является касательной к $\gamma_1$ и $\gamma_2$. Обозначим через $P_1$ и $P_2$, вторые точки пересечения прямой $MP$ с окружностями $\gamma_1$ и $\gamma_2$ соответственно. По свойству секущих $$|MP|\cdot|MP_1|=|ME|\cdot|MC|=|MF|\cdot|MD|=|MP|\cdot|MP_2|,$$ откуда $|MP_1|=|MP_2|$, т. е. $P_1=P_2$. Поскольку окружности $\gamma_1$ и $\gamma_2$ имеют одну общую точку $P$, то $P_1=P_2=P$. Следовательно, $MP$ — общая касательная к $\gamma_1$ и $\gamma_2$.
Итак, мы доказали, что каковы бы ни были две касающиеся окружности, вписанные в сегмент, их общая касательная, проведённая через точку касания, всегда проходит через точку $M$. Из этого и следует утверждение задачи.
Большинство читателей решали эту задачу с помощью инверсии (см.
«Квант» 1971, № 8, с. 23 и 1977, № 6. с. 38). Приведём одно из таких решений, не требующее вычислений: нужно лишь знать, что инверсия переводит окружности в окружности (причём прямые считаются «окружностями, проходящими через бесконечно удалённую точку» $\infty$) и сохраняет углы между ними в точках пересечения.
После инверсии с центром в точке $P$ из рисунка 4, а получается рисунок 4, б (при этой инверсии $P\to\infty$, $\infty\to P$, $A\to A'$, $B\to B'$ и т. д.; радиус инверсии произволен).
Рис. 4
Образы синих окружностей — параллельные прямые, поэтому полученная картина имеет ось симметрии $\rho'$, проходящую через точки $A'$ и $B'$.
Докажем, что окружность $\rho$, образом которой служит прямая $\rho'$, — одна и та же для любой точки $P$ (хотя инверсии для разных точек $P$ будут, конечно, разными, так что рисунок 4, б зависит от выбора $P$). Заметим, что $\rho'$ делит пополам углы между $\gamma'$ и $\delta'$. Значит $\rho$ — окружность, проходящая через точки $A$, $B$, $P$ — делит пополам углы между $\gamma$ и $\delta$ (в точках $A$ и $B$), а этим условием окружность однозначно определяется.
Докажем, что любая прямая $MK$ проходит через центр окружности $\rho$. Поскольку прямая $M'K'$ перпендикулярна $\rho'$, прямая $MK$ пересекает $\rho$ под прямым углом, т. е. проходит через её центр. (Нетрудно увидеть из свойства, определяющего $\rho$, что этот центр — точка $M$, делящая пополам дугу $AB$.) Из этого решения также видно, что $|MP|$ не зависит от $P$.
