Задача М436 / Задачи // Архив журнала «Квант»

Условие задачи (1977, № 4) Задача М436 // Квант. — 1977. — № 4. — Стр. 30; 1978. — № 1. — Стр. 30.

Дано 20 чисел $a_1$‍,‍ $a_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $a_{10}$‍,‍ $b_1$‍,‍ $b_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $b_{10}$‍.‍ Докажите, что множество из 100 чисел (не обязательно различных) $a_1+b_1$‍,‍ $a_1+b_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $a_{10}+b_{10}$‍‍ можно разбить на 10 подмножеств, по 10 чисел в каждом так, чтобы сумма чисел в каждом подмножестве была одной и той же.

С. Т. Берколайко

Открыть в номере

Изображения страниц

‍

Скачать PDF

Решение задачи (1978, № 1) Задача М436 // Квант. — 1977. — № 4. — Стр. 30; 1978. — № 1. — Стр. 30.

Запишем наши 100 чисел в квадратную таблицу так, как изображено на рисунке 1; на пересечении $i$‍‍-й строки и $j$‍‍-го столбца поставим число $a_i+b_j$‍.‍ Образуем теперь 10 подмножеств так, как показано на рисунке 2 (на рисунке клетки-числа, относящиеся к одному и тому же подмножеству, обозначены одной и той же цифрой). Легко видеть, что в каждом столбце (в каждой строке) есть представители всех подмножеств, так что индексы $i$‍‍ и $j$‍‍ чисел $a_i+b_j$‍,‍ входящих в каждое из подмножеств, принимают все значения от 1 до 10 (ровно по одному разу). Поэтому сумма чисел в каждом из подмножеств одна и тa же: $$ a_1+a_2+\ldots+a_{10}+b_1+b_2+\ldots+b_{10}. $$

$ \def\|{\mathrlap{\rule[-3.5pt]{.4pt}{18pt}}} \def\r{~\|} \def\b#1{\qquad\mathclap{#1}\qquad} \def\a#1{\b{#1}\|} \def\vd{\raisebox{-2.5pt}{\vdots}} \colsep{0pt}{ \begin{array}{rccccc} &\b{b_1}&\b{b_2}&\b{b_3}&\b{\ldots}&\b{b_{10}}\\[-4.5pt] \mathrlap{\rule{200.4pt}{.4pt}}\\[-7.5pt] a_1\r&\a{a_1{+}b_1}&\a{a_1{+}b_2}&\a{a_1{+}b_3}&\a{\ldots}&\a{a_1{+}b_{10}}\\[-4.5pt] \mathrlap{\rule{200.4pt}{.4pt}}\\[-7.5pt] a_2\r&\a{a_2{+}b_1}&\a{a_2{+}b_2}&\a{a_2{+}b_3}&\a{\ldots}&\a{a_2{+}b_{10}}\\[-4.5pt] \mathrlap{\rule{200.4pt}{.4pt}}\\[-7.5pt] a_3\r&\a{a_3{+}b_1}&\a{a_3{+}b_2}&\a{a_3{+}b_3}&\a{\ldots}&\a{a_3{+}b_{10}}\\[-4.5pt] \mathrlap{\rule{200.4pt}{.4pt}}\\[-7.5pt] \vd~\r&\a{\vd}&\a{\vd}&\a{\vd}&\a{{\vd}\,{\vd}\,{\vd}}&\a{\vd}\\[-4.5pt] \mathrlap{\rule{200.4pt}{.4pt}}\\[-7.5pt] a_{10}\r&\a{a_{10}{+}b_1}&\a{a_{10}{+}b_2}&\a{a_{10}{+}b_3}&\a{\ldots}&\a{a_{10}{+}b_{10}}\\[-4.5pt] \mathrlap{\rule{200.4pt}{.4pt}} \end{array}}$‍‍

Рис. 1

$ \def\a#1{\hspace{7pt}\mathclap{#1}\hspace{7pt}} \def\|{\rule[-4pt]{0pt}{14pt}} \colsep{0pt}{ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \|\a1&\a2&\a3&\a4&\a5&\a6&\a7&\a8&\a9&\a{10}\\\hline \|\a{10}&\a1&\a2&\a3&\a4&\a5&\a6&\a7&\a8&\a9\\\hline \|\a9&\a{10}&\a1&\a2&\a3&\a4&\a5&\a6&\a7&\a8\\\hline \|\a8&\a9&\a{10}&\a1&\a2&\a3&\a4&\a5&\a6&\a7\\\hline \|\a7&\a8&\a9&\a{10}&\a1&\a2&\a3&\a4&\a5&\a6\\\hline \|\a6&\a7&\a8&\a9&\a{10}&\a1&\a2&\a3&\a4&\a5\\\hline \|\a5&\a6&\a7&\a8&\a9&\a{10}&\a1&\a2&\a3&\a4\\\hline \|\a4&\a5&\a6&\a7&\a8&\a9&\a{10}&\a1&\a2&\a3\\\hline \|\a3&\a4&\a5&\a6&\a7&\a8&\a9&\a{10}&\a1&\a2\\\hline \|\a2&\a3&\a4&\a5&\a6&\a7&\a8&\a9&\a{10}&\a1\\\hline \end{array}}$‍‍

Рис. 2

С. Т. Берколайко

Открыть в номере

Метаданные Задача М436 // Квант. — 1977. — № 4. — Стр. 30; 1978. — № 1. — Стр. 30.

Предмет

Математика

Условие

Берколайко С. Т.

Решение

Берколайко С. Т.

Номера

1977. — № 4. — Стр. 30 [условие]

1978. — № 1. — Стр. 30 [решение]

Описание

Задача М436 // Квант. — 1977. — № 4. — Стр. 30; 1978. — № 1. — Стр. 30.

Ссылка

https://www.kvant.digital/problems/m436/