Приведём одно из наиболее коротких решений, присланных читателями. Пусть $p\ne 1$. (Случай $p=1$ тривиален: уравнение
$$
[x]+p\{x\}=q\tag1
$$
превращается в $x=q$.) Тогда (1) эквивалентно
$$
[x]+px-p[x]=q\quad\Leftrightarrow\quad[x]=\dfrac{px-q}{p-1}.\tag2
$$
Прямая $y=\dfrac{px-q}{p-1}$ пересекает края полосы, ограниченной прямыми $y=x$ и $y=x-1$ и заключающей график $y=[x]$, в точках $A_0(q;q)$ и $A_1(q-p+1;q-p)$ (рисунки 2 и 3; чтобы найти абсциссы $x_0$, $x_1$ этих точек, нужно лишь решить уравнения $px_0-q=x_0(p-1)$ и $px_1-q=(x_1-1)(p-1)$). Ясно, что число решений уравнений (2), т. е. число горизонтальных прямых $y=h$ ($h$ целое), пересекаемых полуинтервалом $[A_0A_1)$, равно количеству целых чисел, заключённых между $q$ и $q-p$ (включая $q$, если оно целое, но не включая $q-p$). Теперь нетрудно привести ответ в задаче а): отрезок $[1978;1978+1977)$ содержит $1977$ целых точек, — и доказать утверждение задачи б): на любом отрезке длины $|p|$ числовой прямой лежит $[|p|]$ или $[|p|]+1$ целых точек.
Рис. 2Рис. 3
Можно решать эту задачу, оставив в уравнении $x$ и $\{x\}$ («дробную часть» $x$). Некоторые читатели, которые шли по этому пути, ошибались в определении $\{x\}$ при $x\lt0$ (обратите внимание, что $\{-0{,}1\}=0{,}9$; $\{-\sqrt2\}=-2+\sqrt2$ и т. п.).
Наше решение приятно тем, что случаи разных знаков $p$ (рисунки 2 и 3) рассматриваются одновременно. Разобравшись в нём, вы сможете провести исследование множества решений такого уравнения: $ax+b[x]+c=0$ (эту задачу прислал нам И. С. Петраков); не забудьте рассмотреть особые случаи, когда решения заполняют целый интервал, или составляют бесконечную арифметическую прогрессию.
